Si tu as choisi la spécialité mathématiques en Première, tu vas faire la rencontre des suites. Une étape importante de ta scolarité… et pour le bac. Les suites, il en existe plusieurs sortes. Aujourd’hui, on se concentre surtout sur la suite arithmétique ! 🚀
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📌 En bref
Une suite arithmétique ajoute la même raison r à chaque terme, U(n+1) = U(n) + r, alors qu’une suite géométrique multiplie par la même raison q, U(n+1) = q × U(n). Terme général : U(n) = U(0) + nr ou U(n) = U(0) × qⁿ. Somme de U(0) à U(n) : (n+1)(U(0)+U(n))/2 ou U(0)(1−qⁿ⁺¹)/(1−q) (q ≠ 1).
La suite arithmétique ✨
Qu’est-ce qu’une suite arithmétique ?
Une suite mathématique (Un) est une suite arithmétique s’il existe un nombre r tel que pour tout entier n, on a :
Un + 1 = Un + r
👉 Le nombre r est appelé raison de la suite.
💡 Point vocabulaire
La raison d’une suite est le nombre qui permet de passer d’un terme à un autre dans les suites définies par récurrence comme la suite arithmétique.
Voici un exemple de l’utilisation d’une suite arithmétique :
On a une suite arithmétique dont le premier terme est égal à 3 et la raison est égale à 5. On souhaite trouver les deux termes suivants.
👉 On a comme information :
U(0) = 3 (premier terme)
r = 5
📌 On utilise la formule pour trouver le terme U(1) :
Un + 1 = Un + r
Un + 1 = U(0) + 5
Un + 1 = 3 + 5
Un + 1 = 8
U(1) = 8.
📌 On utilise la formule pour trouver le terme U(2) :
Un + 1 = Un + r
Un + 1 = U(1) + 5
Un + 1 = 8 + 5
Un + 1 = 13
U(2) = 13.
👉 Pour trouver les autres termes de la suite, il suffit de répéter le même procédé à chaque fois.
La variation de la suite arithmétique 📈
👉 La suite arithmétique peut varier au cours du temps. Pour déterminer la variation d’une suite arithmétique, c’est très simple. Tu as juste une propriété à retenir. 😉
📌 Propriété
Dans une suite arithmétique,
- Si r > 0 alors la suite est croissante.
- Si r < 0 alors la suite est décroissante.
Exemple de l’application :
On reprend la suite arithmétique utilisée précédemment. La suite était Un + 1 = Un + 5.
👉 Ici la raison est 5 et est supérieure à 0, par conséquent, cette suite est croissante.
Si on prend cette fois-ci la suite arithmétique Un + 1 = Un – 3
👉 La raison est – 3 et est inférieure à 0, par conséquent cette suite est décroissante.
Montrer qu’une suite est arithmétique
On te parle maintenant de quelque chose d’incontournable : comment montrer qu’une suite est arithmétique. Cet exercice te sera demandé dans tous tes contrôles de mathématiques. Pour ça, c’est très simple. Il te suffit d’utiliser la technique suivante.
Tu fais la soustraction entre Un + 1 – Un.
👉 Si le résultat est une constante, alors la suite est bien une suite arithmétique.
💡 Définition
👉 On dit que le résultat est une constante lorsque aucune inconnue n’y est présente et qu’il ne reste qu’un nombre, entier ou non. Ce nombre peut être positif ou négatif, en revanche, il ne doit pas y avoir de x ou de n.
Exemple d’application de la technique :
On cherche à savoir si la suite Un = – 6n + 7 est arithmétique.
On utilise la formule : Un + 1 – Un
Donc = – 6(n + 1) + 7 – (- 6n + 7)
= – 6n – 6 + 7 + 6n – 7
= – 6
👉 Un + 1 – Un = – 6. Donc la suite est bien une suite arithmétique.
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Utilisation de la suite arithmétique dans la vie 🙂
Ce qui est plutôt cool avec les suites et en particulier les suites arithmétiques, c’est qu’elles te serviront toute ta vie. Pas besoin de les bosser uniquement pour obtenir le bac. 😁
👉 Elles sont souvent très utiles pour les entreprises ou dans le secteur bancaire lorsqu’il est question de phénomènes à variation constante.
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La suite géométrique
Qu’est-ce qu’une suite géométrique ? 🤔
Une suite (Un) est une suite géométrique s’il existe un nombre q tel que pour tout entier n, on a :
Un + 1 = Un x q
👉 Le nombre q est appelé raison de la suite.
Exemple :
On a une suite dont le premier terme U(0) = 5 et la raison est égale à 2. On souhaite trouver les deux termes suivants.
👉 On a comme informations :
U(0) = 5
q = 2
📌 On utilise la formule pour calculer U(1) :
Un + 1 = Un x q
Un + 1 = U(0) x 2
Un + 1 = 5 x 2
Un + 1 = 10
U(1) = 10
📌 On utilise la formule pour calculer U(2) :
Un + 1 = Un x q
Un + 1 = U(1) x 2
Un + 1 = 10 x 2
Un + 1 = 20
U(2) = 20
👉 Pour trouver les autres termes de la suite, il suffit de répéter le même procédé à chaque fois.
La variation de la suite géométrique 📈
La suite géométrique peut elle aussi varier. Là encore, tu dois retenir la propriété. On te prévient, elle est un peu plus difficile à retenir. 😅
📌 Propriété
(Un) est une suite géométrique de raison q et de premier terme U0.
👉 Pour U0 > 0 :
Si q > 1 alors (Un) est croissante
Si 0 < q < 1 alors (Un) est décroissante
👉 Pour U0 < 0 :
Si q > 1 alors (Un) est décroissante
Si 0 < q < 1 alors (Un) est croissante
Exemple d’application de la technique :
Comment varie la suite Un = −4 x 2ⁿ
On a donc :
U(0) = −4 → −4 < 0
q = 2 → 2 > 1
👉 Donc, si U(0) est inférieur à 0 et que la raison est supérieure à 1, alors la suite est décroissante.
Montrer qu’une suite est géométrique
Pour démontrer qu’une suite est géométrique il faut cette fois-ci effectuer une division.
💡 Formule
Il faut faire : Un + 1 / Un
👉 Si le résultat est une constante, alors la suite est bien géométrique. À l’inverse, elle ne le sera pas.
Exemple de l’application :
On va montrer que la suite Un = 2 x 5ⁿ est géométrique.
En sachant que Un + 1 = 2 x 5ⁿ⁺¹
Donc :
Un + 1 / Un = 2 x 5ⁿ⁺¹ / (2 x 5ⁿ)
Un + 1 / Un = 2 x 5ⁿ x 5 / (2 x 5ⁿ)
Un + 1 / Un = 5
👉 La suite est bien géométrique.
Comment reconnaître une suite arithmétique ou géométrique ?
Pour reconnaître une suite arithmétique ou géométrique, compare deux termes consécutifs. Si la différence U(n+1) − U(n) est toujours la même, la suite est arithmétique. Si c’est le quotient U(n+1) / U(n) qui reste constant, avec des termes non nuls, elle est géométrique. Sinon, elle n’est ni l’une ni l’autre.
Prends 3, 7, 11, 15 : les différences valent toujours 4, la suite est arithmétique de raison 4. Avec 3, 6, 12, 24, le quotient vaut toujours 2 : la suite est géométrique de raison 2.
Utilisation de la suite géométrique dans la vie ✨
Si tu souhaites t’orienter vers le monde de la finance où règnent les taux d’intérêt ou encore les prêts bancaires, on te conseille de bien t’entendre avec les suites géométriques. Eh oui ! Elles sont extrêmement utiles dans ce domaine, notamment pour calculer des intérêts composés.
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Exercices 📝
C’est parti, on met en application tout le cours !
Avant de t’y mettre, voici le récap des formules (suite arithmétique, puis suite géométrique) :
- Récurrence : U(n+1) = U(n) + r et U(n+1) = q × U(n).
- Terme général : U(n) = U(0) + nr et U(n) = U(0) × qⁿ.
- Somme de U(0) à U(n) : (n+1)(U(0)+U(n))/2 et U(0)(1−qⁿ⁺¹)/(1−q) si q ≠ 1.
- Variation : croissante si r > 0, décroissante si r < 0 ; si U(0) > 0, croissante pour q > 1, décroissante pour 0 < q < 1.
📌 Exercice 1 :
Soit la suite arithmétique de raison 4 et de premier terme U(0) = 10. Calcule les deux termes suivants.
📌 Exercice 2 :
Soit la suite géométrique de raison 7 et de premier terme U(0) = 6. Calcule les deux termes suivants.
📌 Exercice 3 :
Est-ce que la suite Un = 10n + 4 est bien arithmétique ?
📌 Exercice 4 :
Est-ce que la suite Un = 7ⁿ x 6 est bien géométrique ?
Correction ✅
📌 Exercice 1
U(0) = 10 et r = 4
Pour le calcul de U(1)
👉 Un + 1 = Un + r
Un + 1 = U(0) + r
Un + 1 = 10 + 4
Un + 1 = 14
👉 Donc U(1) = 14
Pour le calcul de U(2)
👉 Un + 1 = Un + r
Un + 1 = U(1) + r
Un + 1 = 14 + 4
Un + 1 = 18
👉 Donc U(2) = 18
📌 Exercice 2
U(0) = 6 et q = 7
Pour le calcul de U(1) :
👉 Un + 1 = Un x q
Un + 1 = U(0) x q
Un + 1 = 6 x 7
Un + 1 = 42
👉 Donc U(1) = 42
Pour le calcul de U(2)
👉 Un + 1 = Un x q
Un + 1 = U(1) x q
Un + 1 = 42 x 7
Un + 1 = 294
👉 Donc U(2) = 294
📌 Exercice 3
On a Un = 10n + 4
Donc Un + 1 = 10(n + 1) + 4
👉 Un + 1 – Un
= 10(n + 1) + 4 − (10n + 4)
= 10n + 10 + 4 – 10n – 4
👉 = 10
La suite est bien une suite arithmétique.
📌 Exercice 4
Un = 7ⁿ x 6
Donc Un + 1 = 7ⁿ⁺¹ x 6
👉 Un + 1 / Un
= 7ⁿ⁺¹ x 6 / (7ⁿ x 6)
= 7ⁿ x 7 x 6 / (7ⁿ x 6)
👉 = 7
La suite est bien une suite géométrique.
Teste tes connaissances !
On arrive à la conclusion de cette fiche de maths sur les suites. On espère qu’elle a pu t’aider à redécouvrir ce thème et à mieux le comprendre. Laisse-nous un commentaire. 😉
FAQ ✅
Quelle est la différence entre une suite arithmétique et une suite géométrique ?
Une suite arithmétique avance par additions, avec la même raison r ajoutée à chaque terme. Une suite géométrique avance par multiplications, avec la même raison q à chaque étape.
Comment calculer la somme des termes d’une suite ?
Pour une suite arithmétique, multiplie le nombre de termes par la moyenne du premier et du dernier terme. Pour une suite géométrique de raison q ≠ 1, la somme de U(0) à U(n) vaut U(0)(1−qⁿ⁺¹)/(1−q).
