Convergence d'une suite exercice corrigé

Sommaire

Exercice 1 : Convergence d'une suite
Corrigé exercice 1 : Convergence d'une suite

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Exercice 1 : Convergence d’une suite

⏰ Durée : 20 min

💪 Difficulté : niveau 1/3

Étudier la convergence et calculer, si possible, la limite des suites suivantes :

1. $a_n = \sqrt{n^2 + n +1} - n$

;

2. $b_n = \left\lfloor 1 + \dfrac{\left( - 1 \right)^n}{n} \right\rfloor$

;

3. $c_n = \dfrac{n \cos \left( n \right)}{n^2+1}$

;

4. $d_n = \sin \left( \dfrac{n \pi}{6} \right)$

;

5. $e_n = \sqrt[n]{2 - \cos \left( n^2 \right)}$

;

6. $f_n = \dfrac{n^3+2^n}{3^n}$

;

7. $g_n = n \tan \left( \dfrac1n \right)$

;

8. $h_n = \left( - 1 \right)^{\left( - 1 \right)^n}$

;

9. $\displaystyle{i_n = \sum_{k=1}^n \dfrac{k}{k+n}}$

Corrigé de l’exercice 1 : Convergence d’une suite

1. On a

$\forall n \in \mathbb{N}, \quad \sqrt{n^2 + n +1} - n = \dfrac{\sqrt{n^2 + n +1}^2 - n^2}{\sqrt{n^2 + n +1} + n} = \dfrac{n + 1}{\sqrt{n^2 + n +1} + n}.$

On factorise par le terme le plus grand :

$\forall n \in \mathbb{N}^*, \quad \dfrac{n + 1}{\sqrt{n^2 + n +1} + n} = \dfrac{n \left( 1 + \dfrac1n \right)}{n \left( \sqrt{1 + \dfrac1n + \dfrac{1}{n^2}} + 1 \right) } = \dfrac{1 + \dfrac1n}{\sqrt{1 + \dfrac1n + \dfrac{1}{n^2}} + 1}.$

Comme $\lim\limits_{n \to + \infty} \left( 1 + \dfrac1n \right) = 1$

et $\lim\limits_{n \to + \infty} \left( \sqrt{1 + \dfrac1n + \dfrac{1}{n^2}} + 1 \right) = 2$

, on en déduit que

$\lim_{n \to + \infty} a_n = \dfrac12.$

2. On a $b_{2n} = \left\lfloor 1+ \dfrac{1}{2n} \right\rfloor = 1 \xrightarrow[n \to + \infty]{} 1$

et $b_{2n+1} = \left\lfloor 1 - \dfrac{1}{2n+1} \right\rfloor= 0 \xrightarrow[n \to + \infty]{} 0$

.
La suite $\left( b_n \right)_{n \in \N}$

diverge.
3. On a

$\forall n \in \mathbb{N}^*, \quad \dfrac{n \cos \left( n \right)}{n^2+1} = \cos \left( n \right) \times \dfrac{1}{n \left( 1 + \dfrac1n \right)}.$

La suite $\left( \cos \left( n \right) \right)_{n \in \mathbb{N}^*}$

est bornée, la suite $\left( \dfrac{1}{n \left( 1 + \dfrac1n \right)} \right)_{n \in \mathbb{N}^*}$

converge vers $0$

, donc la suite $\left( c_n \right)_{n \in \mathbb{N}^*}$

converge vers $0$

.
4. On a $d_{12n} = \sin \left( 2 n \pi \right) = 0 \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} 0$

et $d_{12n + 3} = \sin \left( 2 n \pi + \dfrac{\pi}{2} \right) = 1 \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} 1$

.
On en déduit que la suite $\left( d_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$

diverge.
5. On a :

$\forall n \in \mathbb{N}^*, \quad \sqrt[n]{2 - \cos \left( n^2 \right)} = \exp \left( \dfrac1n \ln \left( 2 - \cos \left( n^2 \right) \right) \right).$

La suite $\left( \ln \left( 2 - \cos \left( n^2 \right) \right) \right)_{n \in \mathbb{N}^*}$

est bornée,
la suite $\left( \dfrac1n \right)_{n \in \mathbb{N}^*}$

converge vers $0$

, donc $\lim\limits_{n \to + \infty} \dfrac1n \ln \left( 2 - \cos \left( n^2 \right) \right) = 0$

.
Comme $\lim\limits_{u \to 0} \exp \left( u \right) = 1$

, par composition de limites, on a

$\lim_{n \to + \infty} e_n = 1.$

6. On a :

$\forall n \in \mathbb{N}, \quad \dfrac{n^3+ 2^n}{3^n} = \dfrac{n^3}{3^n} + \left( \dfrac23 \right)^n.$

Par croissance comparée, on a $\lim\limits_{n \to + \infty} \dfrac{n^3}{3^n} = 0$

et $\lim\limits_{n \to + \infty} \left( \dfrac23 \right)^n = 0$

car $\left| \dfrac23 \right| < 1$

. On en déduit que $\left( f_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$

converge vers $0$

.
7. On a :

$\forall n \in \mathbb{N}^*, \quad n \tan \left( \dfrac1n \right) = \dfrac{\tan \left( \dfrac1n \right)}{\dfrac1n}.$

Comme $\dfrac1n \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} 0$

et $\lim\limits_{u \to 0} \dfrac{\tan \left( u \right)}{u} = 1$

(taux d’accroissement), on en déduit que la suite $\left( g_n \right)_{n \in \mathbb{N}^*}$

converge vers $1$

.
8. On a $h_{2n} = - 1$

et $h_{2n+1} = -1$

, la suite $\left( h_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$

est constante égale à $- 1$

, donc converge vers $-1$

.
9. On commence par remarquer que si $k \in [[1 , n ]]$

, alors $\dfrac{1}{k + n} \ge \dfrac{1}{2n}$

, ainsi

$\forall n \in \mathbb{N}^*, \quad i_n \ge \dfrac{1}{2n } \times \sum_{k=1}^n k = \dfrac{n+1}{4} \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} + \infty.$

Par comparaison, on en déduit que $\left( i_n \right)_{n \in \mathbb{N}^*}$

diverge vers $+ \infty$

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720