Convergence d’une suite : Exercice corrigé

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 07/07/2022
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Vous travaillez actuellement sur la convergence d’une suite ? Grâce à cet article dédié à la notion convergence d’une suite exercice corrigé, vous allez pouvoir maîtriser sur le bout des doigts cette notion grâce à des méthodologies adaptées !

 

Exercice 1 : Convergence d’une suite

⏰ Durée : 20 min

💪 Difficulté : niveau 1/3

Étudier la convergence et calculer, si possible, la limite des suites suivantes :

1. a_n  = \sqrt{n^2 + n +1} - n ;

2. b_n = \left\lfloor 1 + \dfrac{\left( - 1 \right)^n}{n} \right\rfloor ;

3. c_n = \dfrac{n \cos \left( n \right)}{n^2+1} ;

4. d_n = \sin \left( \dfrac{n \pi}{6} \right) ;

5. e_n = \sqrt[n]{2 - \cos \left( n^2 \right)} ;

6. f_n = \dfrac{n^3+2^n}{3^n} ;

7. g_n = n \tan \left( \dfrac1n \right) ;

8. h_n = \left( - 1 \right)^{\left( - 1 \right)^n} ;

9. \displaystyle{i_n = \sum_{k=1}^n \dfrac{k}{k+n}}.

Corrigé de l’exercice 1 : Convergence d’une suite

1. On a

    \[\forall n \in \mathbb{N}, \quad  \sqrt{n^2 + n +1} - n = \dfrac{\sqrt{n^2 + n +1}^2 - n^2}{\sqrt{n^2 + n +1} + n} = \dfrac{n + 1}{\sqrt{n^2 + n +1} + n}.\]

    \[\forall n \in \mathbb{N}, \quad  \sqrt{n^2 + n +1} - n = \dfrac{\sqrt{n^2 + n +1}^2 - n^2}{\sqrt{n^2 + n +1} + n} = \dfrac{n + 1}{\sqrt{n^2 + n +1} + n}.\]


On factorise par le terme le plus grand :

    \[\forall n \in \mathbb{N}^*, \quad \dfrac{n + 1}{\sqrt{n^2 + n +1} + n} = \dfrac{n \left( 1 + \dfrac1n \right)}{n \left( \sqrt{1 + \dfrac1n + \dfrac{1}{n^2}} + 1 \right) } = \dfrac{1 + \dfrac1n}{\sqrt{1 + \dfrac1n + \dfrac{1}{n^2}} + 1}.\]

    \[\forall n \in \mathbb{N}^*, \quad \dfrac{n + 1}{\sqrt{n^2 + n +1} + n} = \dfrac{n \left( 1 + \dfrac1n \right)}{n \left( \sqrt{1 + \dfrac1n + \dfrac{1}{n^2}} + 1 \right) } = \dfrac{1 + \dfrac1n}{\sqrt{1 + \dfrac1n + \dfrac{1}{n^2}} + 1}.\]


Comme \lim\limits_{n \to + \infty} \left( 1 + \dfrac1n \right) = 1 et \lim\limits_{n \to + \infty} \left( \sqrt{1 + \dfrac1n + \dfrac{1}{n^2}} + 1 \right) = 2, on en déduit que

    \[\lim_{n \to + \infty} a_n = \dfrac12.\]

    \[\lim_{n \to + \infty} a_n = \dfrac12.\]


2. On a b_{2n} = \left\lfloor 1+ \dfrac{1}{2n} \right\rfloor = 1 \xrightarrow[n \to + \infty]{} 1 et b_{2n+1} = \left\lfloor 1 - \dfrac{1}{2n+1} \right\rfloor= 0 \xrightarrow[n \to + \infty]{} 0.
La suite \left( b_n \right)_{n \in \N} diverge.
3. On a

    \[\forall n \in \mathbb{N}^*, \quad \dfrac{n \cos \left(  n \right)}{n^2+1} = \cos \left(  n \right) \times \dfrac{1}{n \left( 1 + \dfrac1n \right)}.\]

    \[\forall n \in \mathbb{N}^*, \quad \dfrac{n \cos \left(  n \right)}{n^2+1} = \cos \left(  n \right) \times \dfrac{1}{n \left( 1 + \dfrac1n \right)}.\]

La suite \left( \cos \left(  n \right) \right)_{n \in \mathbb{N}^*} est bornée, la suite \left( \dfrac{1}{n \left( 1 + \dfrac1n \right)} \right)_{n \in \mathbb{N}^*} converge vers 0, donc la suite \left( c_n \right)_{n \in \mathbb{N}^*} converge vers 0.
4. On a d_{12n} = \sin \left( 2 n \pi \right) = 0 \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} 0 et d_{12n + 3} = \sin \left( 2 n \pi + \dfrac{\pi}{2} \right) = 1 \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} 1.
On en déduit que la suite \left( d_n \right)_{n \in \mathbb{N}} diverge.
5. On a :

    \[\forall n \in \mathbb{N}^*, \quad \sqrt[n]{2 - \cos \left( n^2 \right)} = \exp \left( \dfrac1n \ln \left( 2 - \cos \left( n^2 \right) \right) \right).\]

    \[\forall n \in \mathbb{N}^*, \quad \sqrt[n]{2 - \cos \left( n^2 \right)} = \exp \left( \dfrac1n \ln \left( 2 - \cos \left( n^2 \right) \right) \right).\]

La suite \left( \ln \left( 2 - \cos \left( n^2 \right) \right) \right)_{n \in \mathbb{N}^*} est bornée,
la suite \left( \dfrac1n \right)_{n \in \mathbb{N}^*} converge vers 0, donc \lim\limits_{n \to + \infty} \dfrac1n \ln \left( 2 - \cos \left( n^2 \right) \right) = 0.
Comme \lim\limits_{u \to 0} \exp \left( u \right) = 1, par composition de limites, on a

    \[\lim_{n \to + \infty} e_n = 1.\]

    \[\lim_{n \to + \infty} e_n = 1.\]


6. On a :

    \[\forall n \in \mathbb{N}, \quad \dfrac{n^3+ 2^n}{3^n} = \dfrac{n^3}{3^n} + \left( \dfrac23 \right)^n.\]

    \[\forall n \in \mathbb{N}, \quad \dfrac{n^3+ 2^n}{3^n} = \dfrac{n^3}{3^n} + \left( \dfrac23 \right)^n.\]

Par croissance comparée, on a \lim\limits_{n \to + \infty} \dfrac{n^3}{3^n} = 0 et \lim\limits_{n \to + \infty} \left( \dfrac23 \right)^n = 0 car \left| \dfrac23 \right| < 1. On en déduit que \left( f_n \right)_{n \in \mathbb{N}} converge vers 0.
7. On a :

    \[\forall n \in \mathbb{N}^*, \quad n  \tan \left( \dfrac1n \right) = \dfrac{\tan \left( \dfrac1n \right)}{\dfrac1n}.\]

    \[\forall n \in \mathbb{N}^*, \quad n  \tan \left( \dfrac1n \right) = \dfrac{\tan \left( \dfrac1n \right)}{\dfrac1n}.\]

Comme \dfrac1n \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} 0 et \lim\limits_{u \to 0} \dfrac{\tan \left(  u \right)}{u} = 1 (taux d’accroissement), on en déduit que la suite \left( g_n \right)_{n \in \mathbb{N}^*} converge vers 1.
8. On a h_{2n} = - 1 et h_{2n+1} = -1, la suite \left( h_n \right)_{n \in \mathbb{N}} est constante égale à - 1, donc converge vers -1.
9. On commence par remarquer que si k \in [[1 , n ]], alors \dfrac{1}{k + n} \ge \dfrac{1}{2n}, ainsi

    \[\forall n \in \mathbb{N}^*, \quad i_n \ge \dfrac{1}{2n } \times \sum_{k=1}^n k = \dfrac{n+1}{4} \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} + \infty.\]

    \[\forall n \in \mathbb{N}^*, \quad i_n \ge \dfrac{1}{2n } \times \sum_{k=1}^n k = \dfrac{n+1}{4} \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} + \infty.\]

Par comparaison, on en déduit que \left( i_n \right)_{n \in \mathbb{N}^*} diverge vers + \infty.
livre maths mpsi vuibert

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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