Aujourd’hui, on se lance dans une fiche de maths ! Pas de panique, il ne s’agit pas du théorème de Thalès ou du théorème de Pythagore. On te parle du PGCD, cette petite notion que tu abordes lors de ta classe de troisième et sur laquelle tu seras évalué au brevet. C’est parti ! 🚀
📌 En bref
Le PGCD (plus grand commun diviseur) de deux entiers a et b est le plus grand entier naturel qui divise a et b. Tu le trouves par la liste des diviseurs, l’algorithme d’Euclide ou les facteurs premiers. Exemple : 42 = 2 × 3 × 7 et 60 = 2² × 3 × 5, donc PGCD (42, 60) = 6.
Qu’est-ce que le PGCD ? 🧐
💡 Définition PGCD
Le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) entre deux nombres entiers ou plus est le plus grand nombre entier naturel qui divise simultanément tous ces nombres.
👉 Exemple : les diviseurs communs de 20 et 30 sont 1, 2, 5 et 10. Donc le PGCD de 20 et 30 est 10, puisque c’est le plus grand.
📌 Le PGCD est très utile pour simplifier une fraction.
📌 Il est également utilisé pour résoudre des problèmes.
💡 Pour info
On note le PGCD de deux entiers a et b comme ça : PGCD (a, b).
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Trois méthodes pour calculer le PGCD 😁
1️⃣ La méthode des listes des diviseurs
📌 La première méthode à appliquer pour trouver le PGCD est celle de la liste des diviseurs. On t’explique en quoi elle consiste !
Tu fais la liste des nombres qui divisent chacun des nombres concernés. Une fois la liste dressée, pour les deux nombres concernés ou plus, souligne ceux qui sont communs. Le plus grand d’entre eux est le PGCD.
👉 Méthode en action !
On cherche le PGCD de 42 et 63 :
La liste des diviseurs de 42 est : 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 et 42.
La liste des diviseurs de 63 est : 1, 3, 7, 9, 21, 63.
Une fois la liste des diviseurs établie, tu repères ceux qui sont communs. Ici : 1, 3, 7 et 21.
Donc le plus grand commun diviseur à 42 et 63 est 21. 21 est le PGCD !
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2️⃣ La méthode des différences
📌 Deuxième option pour déterminer le PGCD : il s’agit de la méthode des différences. Cette méthode devrait t’être un peu plus facile à utiliser !
Il s’agit de réaliser des soustractions successives entre les deux nombres dont on cherche le PGCD. À la fin, on arrive à 0. Le PGCD correspond au résultat qui est juste au-dessus du 0.
👉 Méthode en action !
On cherche le PGCD de 36 et 60. On utilise la méthode des différences. Donc :
60 – 36 = 24
36 – 24 = 12
24 – 12 = 12
12 – 12 = 0
Une fois arrivé à 0, le PGCD correspond au résultat juste avant celui-ci. Donc ici, le PGCD de 36 et 60 est 12.
3️⃣ La méthode de l’algorithme d’Euclide
📌 La dernière méthode est celle de l’algorithme d’Euclide. Si tu es plutôt du genre Speedy Gonzalez, cette méthode va te plaire : c’est la plus rapide des trois qu’on a proposées !
👉 La méthode fonctionne sur le même principe que celle des différences. Sauf que cette fois-ci, on utilise des divisions et non pas des soustractions.
Comme précédemment, tu vas diviser les deux nombres concernés par le PGCD :
- Tu divises le plus grand par le plus petit.
- Ensuite, tu divises le plus petit des deux nombres de la première division par le reste de celle-ci.
- Et tu continues ainsi de suite…
✔️ Quand le reste atteint 0, le PGCD correspond au dernier reste non nul. 🙂
👉 Méthode en action !
On cherche le PGCD de 255 et 141 en utilisant l’algorithme d’Euclide. Quand on réalise la division euclidienne de 255 / 141, on a :
255 = 1 x 141 + 114
141 = 1 x 114 + 27
114 = 4 x 27 + 6
27 = 4 x 6 + 3
6 = 2 x 3 + 0
En gras, c’est le dernier reste non nul. Donc le PGCD de 255 et 141 est 3.
💡 Pour info
Cette méthode est très rapide lorsque tu la réalises à la calculatrice. Au brevet, la calculatrice est interdite dans la partie automatismes de l’épreuve de maths, mais autorisée dans la seconde partie, consacrée à la résolution de problèmes.
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📝 Exercices
Pour mettre en application les méthodes présentées, voici quelques exercices pour t’entraîner.
📌 Exercice 1
À l’aide de l’algorithme d’Euclide, trouve le PGCD de 357 et 561.
📌 Exercice 2
À l’aide de la méthode des diviseurs, trouve le PGCD de 30 et 45.
📌 Exercice 3
À l’aide de la méthode des différences, trouve le PGCD de 295 et 177.
✅ Correction
✔️ Exercice 1
On va réaliser les divisions euclidiennes de 357 et 561 pour obtenir le PGCD des deux nombres.
En divisant 561 par 357, on obtient 1 en quotient et 204 en reste.
On l’écrit : 561 = 357 x 1 + 204
357 = 204 x 1 + 153
204 = 153 x 1 + 51
153 = 51 x 3 + 0
Donc le PGCD (357, 561) = 51.
✔️ Exercice 2
Pour 30 : on a 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
Pour 45 : on a 1, 3, 5, 9, 15, 45
Les diviseurs communs de 30 et 45 sont 1, 3, 5 et 15. Donc le plus grand commun diviseur de ces nombres est 15.
PGCD (30,45) = 15
✔️ Exercice 3
295 – 177 = 118
177 – 118 = 59
118 – 59 = 59
59 – 59 = 0
Donc le PGCD (177, 295) = 59
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Dans les nombres premiers
En arrivant au lycée, tu vas découvrir que le PGCD peut s’appliquer dans les nombres premiers ! 😁
⚠️ Définition
Deux entiers naturels a et b sont premiers entre eux lorsque PGCD (a,b) = 1
On peut en déduire que le seul diviseur commun de deux entiers naturels premiers entre eux est 1.
👉 Voici un exemple qui vient confirmer cette définition :
Le seul diviseur commun entre les nombres 14 et 25 est 1. Donc 14 et 25 sont premiers entre eux.
PGCD par décomposition en facteurs premiers
Dès la 3e, tu peux aussi passer par la décomposition : tu écris chaque nombre comme un produit de facteurs premiers, puis tu multiplies les facteurs premiers communs, avec leur plus petit exposant. Avec 42 = 2 x 3 x 7 et 63 = 3² x 7, tu obtiens PGCD (42, 63) = 3 x 7 = 21.
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💡 Pour info
Si tu as l’occasion de choisir la spécialité mathématiques en Terminale avec l’option maths expertes, tu seras amené à travailler le PGCD avec le théorème de Bézout et le théorème de Gauss. Tu verras, ce n’est pas aussi simple qu’en troisième… C’est pourquoi, on te conseille de vraiment bien comprendre le PGCD dès maintenant. 😉 Si les maths sont un cauchemar, t’as pensé aux cours particuliers ?
C’est la fin de cette fiche de cours sur le PGCD, on espère qu’elle t’aidera à maîtriser ce chapitre. 😁 Dis-nous en commentaire !
FAQ ✅
Quelle différence entre PGCD et PPCM ?
Le PGCD est le plus grand diviseur commun à deux entiers, le PPCM leur plus petit multiple commun non nul. Pour 12 et 18, le PGCD vaut 6 et le PPCM 36.
À quoi sert le PGCD ?
Le PGCD sert surtout à rendre une fraction irréductible : tu divises le numérateur et le dénominateur par leur PGCD. Avec PGCD (36, 60) = 12, 36/60 devient 3/5.
En quelle classe étudie-t-on le PGCD ?
En 3e, tu utilises le PGCD sans forcément le nommer : tu décomposes des entiers en facteurs premiers et tu rends des fractions irréductibles. La notion est approfondie en terminale dans l’option maths expertes, avec les théorèmes de Bézout et de Gauss.
