Qu’est-ce que la division euclidienne ?

Mélodie - Mis à jour le 13/06/2022
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En arithmétique, la division euclidienne (aussi appelée division entière) est un calcul mathématique qui consiste à diviser deux nombres entiers (non nuls). Ces nombres sont appelés « dividende » (a) et « diviseur » (b). L’enjeux de l’opération est de trouver le « quotient » (q) et le « reste » (r).

Soient deux entiers relatifs a et b. On suppose que b ∈ N*. On note q et r, le quotient et le reste de la division de a par b.

Soient a\in\mathbb{Z} et b\in\mathbb{N}^*. Alors :

    \[\exists ! (q,r)\in\mathbb{Z}\times \mathbb{N} \text{ tel que } a=qb+r \text{ et }0\le r<b.\]

    \[\exists ! (q,r)\in\mathbb{Z}\times \mathbb{N} \text{ tel que } a=qb+r \text{ et }0\le r<b.\]

q est appelé quotient et r reste de la division euclidienne de a par b.

💡À savoir

En latin, le mot « dividende » (dividendus) désigne « celui qui doit être divisé ». Le mot « quotient » (quotiens) signifie « combien de fois ».

Démonstration de la division euclidienne

Existence

Soit \mathcal{D}=\big\{a+kb,\,k\in\mathbb{Z},\,\text{tel que }a+kb\in\mathbb{N}\big\}. \mathcal{D} est une partie non vide de \mathbb{N} (si a\ge 0, \mathcal{D} contient a, sinon, \mathcal{D} contient a-ab). On en déduit que cet ensemble contient un plus petit élément que l’on note r. Ainsi, pour un certain q\in\mathbb{Z}, on a a-bq=r, soit a=bq+r. On suppose que r\ge b. Dans ce cas, r-b\ge 0 et r-b=a-bq-b=a-b(q+1), donc r-b\in\mathcal{D} et r-b est strictement plus petit que r ce qui contredit la définition de r. On en déduit que r<b.

Unicité

Soient (q,r) et (q',r') deux couples provenant de la division euclidienne de a par b. On a donc :

    \[a=bq+r,\;0\le r<b\;\;\;\text{et}\;\;\;a=bq'+r',\;0\le r'<b .\]

    \[a=bq+r,\;0\le r<b\;\;\;\text{et}\;\;\;a=bq'+r',\;0\le r'<b .\]

Alors, en soustrayant ces deux relations, on obtient : b(q-q')=r'-r. De plus, -b<r'-r<b ce qui implique que -1<q-q'<1. Or q-q' est un entier relatif, donc forcément q-q'=0 ce qui implique immédiatement que q=q' et r=r'.

Remarque sur la démonstration de la division euclidienne

En Python, la commande \mathtt{a//b} permet d’obtenir le quotient de la division euclidienne de a par b et la commande \mathtt{a\% b} en donne le reste.
livre maths mpsi vuibert

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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