Comprendre le théorème de Pythagore et sa réciproque 🧮

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 14/02/2022
214796

Chapitre de maths incontournable du programme de mathématiques de 4e, le théorème de Pythagore est attendu par les élèves… ou au contraire très redouté ! En effet, ce théorème du triangle rectangle introduit la notion importante de démonstration en maths. Dans cet article, on t’aide à comprendre le théorème de Pythagore : le cours de géométrie, comment l’utiliser, comment rédiger une démonstration ainsi qu’un exercice type à la fin. Tu vas voir, ce n’est pas si difficile ! 😉

Un peu d’histoire

Avant de comprendre le théorème de Pythagore, intéressons-nous à son créateur : Pythagore. Ce dernier était vraisemblablement un mathématicien, astronome et philosophe, né à Samos vers – 570. On lui doit, entre autres, la propriété suivante : “la somme des angles d’un triangle est égale à 180°.”

Le savais-tu ? 💡

Comme nous n’avons cependant aucune trace factuelle de son existence, certains historiens pensent qu’il n’aurait jamais existé. Son nom serait alors associé à une communauté de savants !

Bien qu’il ait donné son nom au théorème de Pythagore, les propriétés de ce dernier étaient déjà utilisées par les Babyloniens 1000 ans avant lui. Elles étaient également connues des Égyptiens qui utilisaient une corde à 13 nœuds pour former un triangle rectangle 3 – 4 – 5. 

👉 On se sert encore aujourd’hui du théorème de Pythagore dans la vie quotidienne. Par exemple, le GPS utilise la formule pour calculer la distance qui te sépare de ta destination. Le théorème sert aussi dans l’architecture (la construction de bâtiments comme des cathédrales, des stades…) mais aussi pour les paysagistes.

Bon à savoir ! 😉

Le Nôtre s’en est notamment servi pour créer les jardins de Versailles !

Définition pour comprendre le théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore permet de calculer la longueur de l’hypoténuse (le plus grand côté d’un triangle rectangle). Il affirme que si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés de l’angle droit, soit la formule : AB² + BC² = AC²

⚠️ Attention : N’oublie pas d’élever les nombres au carré, sinon tes calculs seront faux !

Astuce 💡

On te conseille de dessiner la figure à main levée au début, cela peut t’aider à mieux visualiser les choses.

Exemple type

Le triangle XYZ est rectangle en X. Tel que XY = 10 cm et XZ = 8 cm.

👉 Calculer la longueur de l’hypoténuse. 

Pour le moment, on oublie la rédaction puisqu’on s’intéresse au calcul même. On va le faire pas à pas !

  1. On a donc : YZ²= XY² + XZ2
  2. On remplace les longueurs par leurs valeurs chiffrées
  3. YZ² = 10² + 8²
  4. Prends ta calculatrice et calcule les valeurs une par une (ou de tête si t’es fort en calcul mental)
  5. YZ² = 100 + 64
  6. YZ² = 164

Attention : Ce n’est pas terminé, YZ est au carré. Afin d’avoir YZ seul, on doit trouver sa racine carrée, le fameux √

  • YZ =√164
  • YZ ≈12,8 cm

👉 Et voilà ! 12,8 cm est la longueur de l’hypoténuse.

À noter 🤌

Le théorème de Pythagore permet de calculer la longueur de n’importe quel côté d’un triangle rectangle, pas forcément de l’hypoténuse.

Si on reprend notre exemple, on te donne YZ = 12,8 cm et YX = 10 cm. Calculer XZ

Tu adaptes donc la formule : YZ² = XY² + XZ², alors XZ² = YZ² – YX²

💡 Si tu es observateur, tu as remarqué que l’on soustrait la plus grande valeur à la plus petite. Baaah oui… tu vas me dire, sinon ça fait un nombre négatif. Oui, c’est vrai, mais certains ne le savent pas ou oublient de le faire…

Maintenant que tu connais la formule, on va passer aux choses qui fâchent : la démonstration. Franchement, celle de ce théorème n’est pas très compliquée par rapport à d’autres. 😉

La démonstration du théorème de Pythagore

En règle générale, en mathématiques, la démonstration se fait en 3 parties :

  1. Cherche dans l’énoncé les informations utiles pour répondre au problème
  2. Cherche la/les propriétés ou théorème utiles  
  3. Fais les calculs puis conclus

👉 Pour le théorème de Pythagore, ça donne ceci :

Le triangle MZQ est rectangle en M, on peut donc utiliser le théorème de Pythagore pour calculer ZQ. On a donc :

ZQ² = MZ² + MQ²

Tu effectues les calculs

Donc ZQ= √ZQ2

Phrase réponse : On peut conclure que ZQ mesure…

Astuce 💡

N’hésite pas à encadrer des résultats. Cela rendra ta copie plus agréable à lire et facilitera la correction.

À présent que tu connais l’égalité, effectuer les calculs et rédiger, on peut passer à la réciproque du théorème de Pythagore !

La réciproque du théorème de Pythagore

La réciproque permet de prendre le problème à l’envers et de déterminer si un triangle est rectangle ou pas.

Pour cela, on calcule la somme des deux côtés adjacents au carré, puis l’hypoténuse au carré. Si les deux valeurs sont égales, l’égalité de Pythagore est vérifiée et le triangle est rectangle.

En formule : Si dans un triangle ABC, on a BC² = AB ²+ AC² alors le triangle est rectangle en A. Ou en français, si un triangle ABC est rectangle, alors la somme des carrés des côtés est égale au carré de l’hypoténuse.

Reprenons notre exemple. On avait : YZ = 12,8 cm ; YX = 10 cm ; XZ = 8 cm

👉 Rédigé, ça donne :

Comme YZ > YX > XZ, si le triangle était rectangle, il le serait en X.

Astuce !

Prends la lettre commune dans les deux dernières longueurs : c’est elle qui est l’angle droit du triangle.

On a : 

  • YZ² = 12,8² ≈ 164 cm
  • YX² + XZ²  = 10² + 8² = 100 + 64 = 164 cm

👉 Comme YZ² = YX² + XZ², d’après la réciproque du théorème de Pythagore, on peut affirmer que le triangle XYZ est rectangle en X (attention, il ne faut pas oublier de dire en quel angle le triangle est rectangle).

Si l’égalité est non vérifiée :

👉 Comme YZ²YX² + XZ², d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle XYZ n’est pas rectangle en X.

Comment vaincre la peur des maths ?

Une vidéo pour t’aider à vaincre la peur des maths ? Ça tombe à pic ! 😉

Exercices pour comprendre le théorème de Pythagore

Ça suffit la théorie, passons aux exos pratiques ! Résous ces deux exercices et regarde (seulement après) le corrigé à la fin de l’article. 😎

Exercice 1 :

Soit un triangle ABC rectangle en A  tel que :  BC = 9 m et AC = 4 m.

Calcule la longueur de AB.

Exercice 2 :

Ces triangles sont-ils rectangles ? Justifie.

  1. Soit DEF tel que : DE = 4 cm ; FE = 10 cm et FD = 8 cm
  2. Soit GHI tel que : GH = 17 cm ; GI = 15 cm et IH = 8 cm
  3. Soit JKL tel que : JK = 5 cm ; KL = 9 cm et JL = 6 cm

Corrections

Exercice 1

D’après l’énoncé, le triangle ABC est rectangle en A, on peut donc utiliser le théorème de Pythagore afin de calculer AB. On a alors :

  • BC² = AB² + AC²
  • AB² = BC² – AC²
  • AB² = 9² – 4²
  • AB² = 81 – 16
  • AB² = 65

Donc AB = √65 ≈ 8 cm

👉 On peut en conclure que la longueur AB vaut environ 8 cm.

Exercice 2 :

👉 On a FE > FD > DE, donc l’angle droit serait en D.

  • On a d’une part : FE² = 10² = 100 cm
  • Et d’autre part : FD² + DE ² = 8² + 4² = 64 + 16 = 80 cm

Comme FE² ≠ FD² + DE², d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle DEF n’est pas rectangle en D.

👉 On a GH > HI > GI, donc l’angle droit serait en I

On alors : 

  • GH² = 17² = 289 cm
  • HI² + GI ² = 15² + 8² = 225 + 64 = 289 cm

Comme GH² = HI² + GI ², d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle GHI est rectangle en I

👉 On a  KL > JL > JK, donc si le triangle était rectangle, il le serait en J.

Donc : 

  • KL ² = 9² = 81
  • JL² + JK² = 6² + 5² = 36 + 25 = 61

Comme KL²  ≠ JL² + JK², d’après la réciproque du théorème de Pythagore, on peut affirmer que le triangle JKL n’est pas rectangle en J.

À lire aussi

Ep ep ep… Et le théorème de Thalès, tu le connais ? 😉

Tu dois désormais bien comprendre le théorème de Pythagore : tu sais calculer n’importe quelle longueur dans un triangle rectangle, et prouver qu’un triangle est rectangle (ou pas). Tout ça avec une bonne rédaction… Pas mal ! On te conseille de t’entraîner encore sur quelques exercices, pour que la méthode soit automatique dans ton cerveau. 🧠

5/5 - (6 votes)

Laisse-nous un commentaire !

Des questions ? Des bons plans à partager ? Nous validons ton commentaire et te répondons en quelques heures ! 🎉

Ebook

Découvre nos ebooks

Avoir confiance en soi, réussir le bac, trouver son stage, gagner en productivité… À chaque problème son guide pour progresser et devenir la meilleure version de toi-même ! 💪