Théorème de Thalès : quésaco ? 😲

Caroline Roda - Mis à jour le 14/09/2022
Théorème de Thalès et sa réciproque

Le programme de maths de troisième est un casse-tête pour de nombreux élèves. Dans cet article, on va te parler du célèbre Théorème de Thalès, troisième chapitre du programme scolaire ! De quoi ça parle, d’où il vient… On te donne les clés pour réussir cette étape et être à l’aise le jour du Brevet ! 🤗

Le théorème de Thalès de long en large 

Le théorème de Thalès en 3ème est redouté… On comprend pourquoi ! Après ces quelques explications de cours, tu devrais bien t’en sortir. C’est parti ! 🚀

Qu’est-ce que le théorème de Thalès ? 🧐

Définition

D’un point de vue théorique, le théorème de Thalès est une théorie de géométrie. Elle affirme que dans le plan d’un triangle, une droite parallèle à l’un des côtés du triangle, définit un deuxième triangle avec des angles proportionnels à l’aide des deux autres côtés.

Théorème de Thalès - 3 ème

Voici le plan d’un triangle appelé ABC

La droite DE est une droite parallèle au côté BC. Grâce à cette droite, on obtient un nouveau triangle ADE
D’après le théorème de Thalès (qu’on t’explique juste après), on définit que les angles du triangle ADE sont proportionnels à ceux du triangle ABC.

D’un point de vue pratique, ce théorème permet de calculer des longueurs et de démontrer qu’en présence de deux droites parallèles, on peut constater des formes proportionnelles.

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D’où vient le théorème de Thalès ? 👀

Il vient directement de Monsieur Thalès en personne, de son vrai nom Thalès de Milet. Philosophe grec et grand savant, Thalès a vécu plus de 500 ans avant J.C. Notamment connu pour son théorème, il est renommé à travers le monde pour bien d’autres exploits : prédiction d’éclipse, chercheur en maths… et surtout en géométrie !
👉 Il est entré dans l’Histoire grâce à ses méthodes d’analyses. Contrairement à ses contemporains, Thalès ne s’appuyait pas sur la mythologie, mais bel et bien sur l’observation et la démonstration.

🔥 Petite anecdote

La première fois que Thalès découvre et met en pratique son théorème, c’était pour déterminer les propriétés de la grande pyramide de Khéops en Égypte !

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Quand utiliser le théorème de Thalès ? ✨

Pour être utilisé, le théorème de Thalès nécessite la présence de deux droites parallèles coupées par deux droites sécantes. 

Le reconnaître

Le théorème s’applique seulement pour deux figures.

Théorème de Thalès - configuration 1
👉 Configuration 1 : deux droites sécantes en noir. Deux droites parallèles en rouge.
Théorème de Thalès - Configuration 2
👉 Configuration 2 : deux droites sécantes en noir. Deux droites parallèles en rouge.

💡 Rappel de cours

  • Des droites sont parallèles si elles ne possèdent aucun point en commun. Il s’agit de deux lignes droites allant dans la même direction sans jamais se rencontrer en un point.
  • Des droites sont sécantes si elles possèdent un point en commun. Ce point se nomme le point d’intersection.

L’utiliser

Maintenant que tu sais reconnaître les cas de figure où le théorème peut être utilisé,  passe à la pratique ! Pour ça, tu as besoin de connaître les valeurs d’au moins trois longueurs

Voici des exemples pour que tu puisses visualiser. 

Théorème de Thalès - Exemple 1
Théorème de Thalès - Exemple 2

Le théorème s’applique de la même façon pour les deux configurations de triangle. La seule différence est pour la 1. Les triangles sont distincts, il te faut donc prendre le point de croisement (ici le point N), comme point commun entre les deux figures. 

Le théorème de Thalès 📏

Pour chaque figure, on parle de Propriété à appliquer. Voici un petit guide : 

  • Énonce le théorème et écris les rapports égaux
  • Remplace les mesures connues par leur valeur numériques et   raie la valeur inutile
  • Réalise un produit en croix (des fractions 🥲)

Exemple :

Démonstration

Énoncé : Calcule la longueur de AC et déduis celle du segment BC. 

  • Dans cette figure, on observe deux triangles. Le triangle ABD et le triangle ACE. Ainsi que la droite [CE] parallèle à la droite [BD].

On sait que [CE] et [BD] sont parallèles, on obtient donc des angles égaux.

Alors les angles ADB et AEC sont égaux ; ABD = ACE et EAC = DAB

  • Selon le théorème de Thalès :

Ainsi AC = 7,5 cm, de ce fait BC = 4,5 cm. 

🚨 Pas de secret, l’entraînement sera la clé de ta réussite sur ce chapitre !

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As-tu compris la méthode ? Essaie cet exercice pour voir ! 🤓

En utilisant le théorème de Thalès, calcule la longueur du segment FJ à 0,1 cm près.

Théorème de Thalès - Exercice

Réponse et démonstration  

Dans cette figure, il y a deux triangles : FGJ et FHI. On sait que les droites [GH] et [HI] sont parallèles. 

Selon le théorème de Thalès :

Alors FJ mesure 2,3 cm.

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La réciproque du Théorème de Thalès 🤨

Eh oui, ce n’est pas terminé. Comme beaucoup de théorèmes, celui de Thalès possède sa réciproque ! Elle est très utilisée dans le programme de troisième au collège.

Déterminer deux droites parallèles 

En quelques mots, la réciproque du théorème de Thalès permet de démontrer que deux droites sont parallèles (ou non). Auquel cas, tu peux utiliser le théorème. 

💡 Petite astuce Sherpa

Pour le calcul de tes équations, tu peux choisir l’ordre que tu souhaites.
👉 On te conseille de prendre la plus petite mesure en haut et la plus grande en bas.

Exemple :

Pour prouver que [WZ] et [YX] sont parallèles, on calcule séparément [VZ/VY] et [WZ/XY], pour montrer qu’ils sont égaux.

Théorème de Thalès - Exercice

[VZ/VY] et [WZ/XY] sont égaux, donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites [WZ] et [YX] sont parallèles. 
Si les résultats ne sont pas égaux, alors les deux droites ne sont pas parallèles.

Tu l’auras compris, ce chapitre de mathématique est rempli d’équations et de géométrie. Maintenant que tu sais utiliser le théorème de Thalès et sa réciproque, tu as toutes les cartes en mains pour réussir ce cours de géométrie ! 🃏  Surtout n’oublie pas de bien t’entraîner avec plusieurs exercices. Garde l’œil ouvert sur le blog, on a plein d’articles pour t’aider en mathématiques ! 

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Caroline Roda
Geek à plein temps
Je suis rédactrice web chez Les sherpas dans le cadre de mon stage de fin d'étude en journalisme ! J'espère que mes articles t'aideront à avancer sur le plan professionnel et personnel. Petit conseil : sois toujours à l'écoute de toi-même ! 🌹

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