Le programme de maths de troisième est un casse-tête pour de nombreux élèves. Dans cet article, on va te parler du célèbre Théorème de Thalès, troisième chapitre du programme scolaire ! De quoi ça parle, d’où il vient… On te donne les clés pour réussir cette étape et être à l’aise le jour du Brevet ! 🤗
Le théorème de Thalès en bref 📏
Si deux droites (BM) et (CN) sont sécantes en A et que les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors AM/AB = AN/AC = MN/BC. Le théorème sert à calculer une longueur grâce à un produit en croix. Sa réciproque permet de prouver que deux droites sont parallèles, et sa contraposée qu’elles ne le sont pas.
Le théorème de Thalès de long en large
Le théorème de Thalès en 3ème est redouté… On comprend pourquoi ! Après ces quelques explications de cours, tu devrais bien t’en sortir. C’est parti ! 🚀
Qu’est-ce que le théorème de Thalès ? 🧐
Définition
D’un point de vue théorique, le théorème de Thalès est une propriété de géométrie. Elle affirme que dans le plan d’un triangle, une droite parallèle à l’un des côtés du triangle, forme avec les deux autres côtés un deuxième triangle, plus petit ou plus grand, aux longueurs proportionnelles.
Voici le plan d’un triangle appelé ABC.
La droite DE est une droite parallèle au côté BC. Grâce à cette droite, on obtient un nouveau triangle ADE.
D’après le théorème de Thalès (qu’on t’explique juste après), on définit que les longueurs des côtés du triangle ADE sont proportionnelles à celles du triangle ABC.
D’un point de vue pratique, ce théorème permet de calculer des longueurs et de démontrer qu’en présence de deux droites parallèles, on peut constater des formes proportionnelles.
Collégien en galère ? Ton premier cours est offert ! 🎁
Nos profs sont là pour t’aider à progresser !
D’où vient le théorème de Thalès ? 👀
Il vient directement de Monsieur Thalès en personne, de son vrai nom Thalès de Milet. Philosophe grec et grand savant, Thalès a vécu plus de 500 ans avant J.C. Notamment connu pour son théorème, il est renommé à travers le monde pour bien d’autres exploits : prédiction d’éclipse, chercheur en maths… et surtout en géométrie !
👉 Il est entré dans l’Histoire grâce à ses méthodes d’analyses. Contrairement à ses contemporains, Thalès ne s’appuyait pas sur la mythologie, mais bel et bien sur l’observation et la démonstration.
🔥 Petite anecdote
Selon des récits antiques, Thalès aurait mesuré la hauteur d’une pyramide d’Égypte grâce à l’ombre d’un bâton planté dans le sable !
À lire aussi
✅ Tout comprendre au théorème de Pythagore
Quand utiliser le théorème de Thalès ? ✨
Pour être utilisé, le théorème de Thalès nécessite la présence de deux droites parallèles coupées par deux droites sécantes.
À quoi sert le théorème de Thalès ? 🎯
Le théorème de Thalès sert à calculer une longueur inconnue à partir de trois longueurs connues, grâce à un rapport de proportionnalité. Sa réciproque sert à prouver que deux droites sont parallèles, et sa contraposée qu’elles ne le sont pas. Hors de la classe, la même règle permet également d’estimer la hauteur d’un arbre grâce à son ombre.
Le reconnaître
Le théorème s’applique dans deux configurations : les triangles emboîtés et la configuration dite « papillon ».
💡 Rappel de cours
- Des droites sont parallèles si elles ne possèdent aucun point en commun. Il s’agit de deux lignes droites allant dans la même direction sans jamais se rencontrer en un point.
- Des droites sont sécantes si elles possèdent un point en commun. Ce point se nomme le point d’intersection.
L’utiliser
Maintenant que tu sais reconnaître les cas de figure où le théorème peut être utilisé, passe à la pratique ! Pour ça, tu as besoin de connaître les valeurs d’au moins trois longueurs.
Voici des exemples pour que tu puisses visualiser.
Le théorème s’applique de la même façon pour les deux configurations de triangle. La seule différence est pour la 1. Les triangles sont distincts, il te faut donc prendre le point de croisement (ici le point N), comme point commun entre les deux figures.
Le théorème de Thalès 📏
Pour chaque figure, on parle de Propriété à appliquer. Voici un petit guide :
- Énonce le théorème et écris les rapports égaux
- Remplace les mesures connues par leurs valeurs numériques et raie la valeur inutile
- Réalise un produit en croix (des fractions 🥲)
Exemple :
Énoncé : Calcule la longueur de AC et déduis celle du segment BC.
- Dans cette figure, on observe deux triangles. Le triangle ABD et le triangle ACE. Ainsi que la droite (CE), parallèle à la droite (BD).
On sait que (CE) et (BD) sont parallèles, on obtient donc des angles égaux.
Alors les angles ADB et AEC sont égaux ; ABD = ACE et EAC = DAB
- Selon le théorème de Thalès :
Ainsi AC = 7,5 cm, de ce fait BC = 4,5 cm.
🚨 Pas de secret, l’entraînement sera la clé de ta réussite sur ce chapitre !
👉 Si tu as des difficultés à comprendre la leçon, tu peux te tourner vers un de nos super professeurs de mathématiques. Tu peux le choisir selon ton niveau et tes besoins. Il pourra même t’aider à gérer le brevet, de quoi trouver la perle rare ! 💎
À lire aussi
✅ Le kit pour devenir fort en maths
As-tu compris la méthode ? Essaie cet exercice pour voir ! 🤓
En utilisant le théorème de Thalès, calcule la longueur du segment FJ à 0,1 cm près.
Réponse et démonstration
Dans cette figure, il y a deux triangles : FGJ et FHI. On sait que les droites (GJ) et (HI) sont parallèles.
Selon le théorème de Thalès :
Alors FJ = 14 : 6 ≈ 2,3 cm à 0,1 cm près.
Besoin d’un prof particulier de maths ? ✨
Nos Sherpas sont là pour t’aider à progresser et prendre confiance en toi !
La réciproque du Théorème de Thalès 🤨
Eh oui, ce n’est pas terminé. Comme beaucoup de théorèmes, celui de Thalès possède sa réciproque ! Elle est très utilisée dans le programme de troisième au collège.
La réciproque du théorème de Thalès s’applique lorsque les points considérés sont situés sur deux droites issues d’un même sommet, et que les rapports des longueurs partant de ce sommet sont égaux. Attention : pour la réciproque, les points doivent être alignés dans le même ordre sur les deux droites.
Déterminer deux droites parallèles
En quelques mots, la réciproque du théorème de Thalès permet de démontrer que deux droites sont parallèles (ou non). Auquel cas, tu peux utiliser le théorème.
💡 Petite astuce Sherpa
Pour le calcul de tes équations, tu peux choisir l’ordre que tu souhaites.
👉 On te conseille de prendre la plus petite mesure en haut et la plus grande en bas.
Exemple :
Pour prouver que les droites (WZ) et (XY) sont parallèles, avec V, Z, Y et V, W, X alignés dans le même ordre, on calcule séparément VZ/VY et VW/VX et on vérifie qu’ils sont égaux.
Si VZ/VY et VW/VX sont égaux, alors d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (WZ) et (XY) sont parallèles.
Si les rapports ne sont pas égaux, les droites ne sont pas parallèles.
La contraposée du théorème de Thalès 🚫
La contraposée sert à démontrer que deux droites ne sont pas parallèles. Si les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre et que AM/AB est différent de AN/AC, alors les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.
Exemple : avec AM = 3 cm, AB = 5 cm, AN = 4 cm et AC = 6 cm, on obtient AM/AB = 3/5 et AN/AC = 4/6 = 2/3. Comme 3 × 6 = 18 et 5 × 4 = 20, les rapports sont différents, donc d’après la contraposée du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.
Thalès et le triangle rectangle : attention à la confusion ⚠️
Tu as peut-être entendu parler du « théorème de Thalès » dans un triangle rectangle. En France, ce nom désigne le théorème des longueurs proportionnelles vu en 3e. Dans les pays anglophones et en Allemagne, le « théorème de Thalès » désigne une autre propriété : un triangle inscrit dans un cercle, et dont un côté est un diamètre de ce cercle, est rectangle.
En France, on parle plutôt de la propriété du triangle rectangle et de son cercle circonscrit : si un triangle est rectangle, son cercle circonscrit a pour diamètre son hypoténuse, et réciproquement. Tu l’étudies au collège.
Retiens aussi que le théorème de Thalès n’exige aucun angle droit, seulement deux droites parallèles. Pour calculer un côté ou un angle d’un triangle rectangle, tu utilises plutôt le théorème de Pythagore ou la trigonométrie.
Tu l’auras compris, ce chapitre de mathématique est rempli d’équations et de géométrie. Maintenant que tu sais utiliser le théorème de Thalès et sa réciproque, tu as toutes les cartes en mains pour réussir ce cours de géométrie ! 🃏 Surtout n’oublie pas de bien t’entraîner avec plusieurs exercices. Garde l’œil ouvert sur le blog, on a plein d’articles pour t’aider en mathématiques !
FAQ ✅
Quelle est la formule du théorème de Thalès?
La formule du théorème de Thalès est AD/AB = AE/AC = DE/BC lorsque les droites (DE) et (BC) sont parallèles, avec A, D, B et A, E, C alignés. Ce théorème établit une proportionnalité entre les segments des droites sécantes.
Comment on utilise le théorème de Thalès?
Le théorème de Thalès est utilisé pour démontrer la proportionnalité des segments lorsque deux droites sont coupées par des droites parallèles. Il est souvent utilisé pour calculer une longueur manquante dans un triangle ou, avec sa réciproque, pour prouver que deux droites sont parallèles.
Quand est-ce qu’il faut utiliser le théorème de Thalès?
Il faut utiliser le théorème de Thalès lorsqu’on est confronté à des droites parallèles coupées par des droites sécantes. Ce théorème est particulièrement utile pour déterminer des longueurs inconnues dans un triangle ou, avec sa réciproque, pour vérifier le parallélisme de deux droites.
Quelle est la réciproque de Thalès?
La réciproque du théorème de Thalès dit que si A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre et que AM/AB = AN/AC, alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Elle permet de déduire le parallélisme de deux droites à partir de la proportionnalité des segments.
Comment savoir si un triangle est rectangle avec Thalès?
Le théorème de Thalès ne permet pas de prouver qu’un triangle est rectangle. Pour cela, utilise la réciproque du théorème de Pythagore, ou la propriété du cercle : un triangle inscrit dans un cercle ayant pour diamètre l’un de ses côtés est rectangle.
Quelle est la formule du théorème de Thalès ?
Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles, avec A, M, B et A, N, C alignés, alors AM/AB = AN/AC = MN/BC. Avec trois longueurs connues, un produit en croix donne la quatrième.
Quand utiliser la réciproque du théorème de Thalès ?
Quand on te demande de prouver que deux droites sont parallèles. Calcule séparément AM/AB et AN/AC : si les rapports sont égaux et que les points sont alignés dans le même ordre, les droites sont parallèles.
Quelle différence entre le théorème de Thalès et celui de Pythagore ?
Le théorème de Pythagore s’utilise dans un triangle rectangle, pour calculer la longueur d’un côté à partir des deux autres. Le théorème de Thalès s’utilise avec deux droites parallèles coupées par deux sécantes, pour calculer des longueurs proportionnelles.
Quelle est la phrase du théorème de Thalès ?
La phrase type est : les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A et (MN) est parallèle à (BC), donc d’après le théorème de Thalès, AM/AB = AN/AC = MN/BC.
Théorème, réciproque, contraposée : quels sont les énoncés de Thalès ?
Au collège, on utilise trois énoncés liés à Thalès : le théorème, sa réciproque et sa contraposée. Le premier sert à calculer une longueur, les deux autres à dire si deux droites sont parallèles ou non.
Quelle est la différence entre le théorème de Thalès et sa réciproque ?
Le théorème part de droites parallèles pour en déduire des rapports égaux, alors que la réciproque part de rapports égaux pour prouver que les droites sont parallèles.
