Qu’est-ce que le module d’un nombre complexe ?

Mélodie - Mis à jour le 25/05/2022
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Dans cet article, on présente une partie de la théorie sur les nombres complexes. C’est un outil très puissant que l’on retrouve aussi bien en géométrie, en analyse, en algèbre ou même en sciences physiques.  

Le corps des nombres complexes

Quelques prérequis pour comprendre les nombres complexes

Rappel

On appelle produit cartésien de deux ensembles A et B l’ensemble, noté A x B, des couples (a,b) où a ∈ A et b ∈ B.

Définition de la Loi de composition interne

Soit E un ensemble. On appelle loi de composition interne une application de E\times E dans E: \varphi : E\times E \rightarrow E (x,y) \mapsto x \stary.

Construction du corps des complexes

Définition

Nous appellerons corps des nombres complexes, noté \mathbf{C}, l’ensemble \mathbf{R}^2 muni de deux lois internes \oplus et \otimes, définies pour tout (a,b)\in\mathbf{R}^2, (a',b')\in\mathbf{R}^2 par :

    \[(a,b)\oplus (a',b')= (a+a',b+b'),\]

    \[(a,b)\oplus (a',b')= (a+a',b+b'),\]

    \[(a,b)\otimes (a',b')= (aa'-bb',ab'+a'b) .\]

    \[(a,b)\otimes (a',b')= (aa'-bb',ab'+a'b) .\]

Remarques

En vue de simplifier les écritures, dans la suite, nous noterons + et \times (notations habituelles) les lois de composition interne \oplus et \otimes. La notion de corps sera vue ultérieurement.

Pour tout nombre réel a, nous identifions le nombre complexe (a,0) avec le réel a, et i le nombre complexe (0, 1). En utilisant cette notation et la définition de l’addition et de la multiplication dans C définies ci-dessus, on peut écrire pour tout nombre complexe (a,b) : (a,b) = a + ib.

Le signe égal ici est un abus de notation. Dans la suite, nous noterons un nombre complexe a + ib, c’est ce que l’on appelle la notation algébrique d’un nombre complexe. Avec cette notation, on notera classiquement ⊕ avec le signe + et ⊗ avec x.

Proposition

Le nombre complexe i vérifie i 2 = -1.

Démonstration

On a :

    \[\i^2=(0,1)\otimes (0,1)=(0\times 0-1\times 1, 0\times 1+1\times 0)=(-1,0)=-1.\]

    \[\i^2=(0,1)\otimes (0,1)=(0\times 0-1\times 1, 0\times 1+1\times 0)=(-1,0)=-1.\]

Écriture algébrique d’un nombre complexe

Partie réelle, partie imaginaire

Définition

Soit z=a+\i b un nombre complexe.
  • a est appelé partie réelle de z, que l’on notera \Re e(z)
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