Qu’est-ce que le module d’un nombre complexe ?

Mélodie - Mis à jour le 25/05/2022
module d'un nombre complexe

Dans cet article, on présente une partie de la théorie sur les nombres complexes. C’est un outil très puissant que l’on retrouve aussi bien en géométrie, en analyse, en algèbre ou même en sciences physiques.  

Le corps des nombres complexes

Quelques prérequis pour comprendre les nombres complexes

Rappel

On appelle produit cartésien de deux ensembles A et B l’ensemble, noté A x B, des couples (a,b) où a ∈ A et b ∈ B.

Définition de la Loi de composition interne

Soit E un ensemble. On appelle loi de composition interne une application de E\times E dans E: \varphi : E\times E \rightarrow E (x,y) \mapsto x \stary.

Construction du corps des complexes

Définition

Nous appellerons corps des nombres complexes, noté \mathbf{C}, l’ensemble \mathbf{R}^2 muni de deux lois internes \oplus et \otimes, définies pour tout (a,b)\in\mathbf{R}^2, (a',b')\in\mathbf{R}^2 par :

    \[(a,b)\oplus (a',b')= (a+a',b+b'),\]

    \[(a,b)\otimes (a',b')= (aa'-bb',ab'+a'b) .\]

Remarques

En vue de simplifier les écritures, dans la suite, nous noterons + et \times (notations habituelles) les lois de composition interne \oplus et \otimes. La notion de corps sera vue ultérieurement.

Pour tout nombre réel a, nous identifions le nombre complexe (a,0) avec le réel a, et i le nombre complexe (0, 1). En utilisant cette notation et la définition de l’addition et de la multiplication dans C définies ci-dessus, on peut écrire pour tout nombre complexe (a,b) : (a,b) = a + ib.

Le signe égal ici est un abus de notation. Dans la suite, nous noterons un nombre complexe a + ib, c’est ce que l’on appelle la notation algébrique d’un nombre complexe. Avec cette notation, on notera classiquement ⊕ avec le signe + et ⊗ avec x.

Proposition

Le nombre complexe i vérifie i 2 = -1.

Démonstration

On a :

    \[\i^2=(0,1)\otimes (0,1)=(0\times 0-1\times 1, 0\times 1+1\times 0)=(-1,0)=-1.\]

Écriture algébrique d’un nombre complexe

Partie réelle, partie imaginaire

Définition

Soit z=a+\i b un nombre complexe.
  • a est appelé partie réelle de z, que l’on notera \Re e(z).
  • b est appelé partie imaginaire de z, que l’on notera \Im(z). On notera que la partie imaginaire est un nombre réel.
  • L’expression z = a + \i b est appelée la forme algébrique du nombre complexe z.

    Remarque

    Deux complexes seront égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes parties réelles et les mêmes parties imaginaires.

    Proposition

  • Un nombre complexe est réel si, et seulement si, sa partie imaginaire est nulle :

        \[z\in \mathbf{R}\Longleftrightarrow \Im(z)=0.\]

  • Si un nombre complexe a une partie réelle nulle, on dit qu’il est imaginaire pur. On notera \i\R l’ensemble des nombres imaginaires purs :

        \[z\in\i\mathbf{R}\Longleftrightarrow \Re(z)=0.\]

  • Démonstration

    Conséquence directe de la définition d’un nombre complexe.

    Proposition : Linéarité des parties réelle et imaginaire

    Soient z et z' deux complexes quelconques et \lambda\in\R. Alors :
  • \Re e(z+z')=\Re e(z)+\Re e(z')
  • \Re e(\lambda z)=\lambda \Re e(z).
  • \Im m(z+z')=\Im m(z)+\Im(z')
  • \Im m(\lambda z)=\lambda \Im m(z).
  • Démonstration

    On pose z=a+\i b et z'=a'+\i b', alors : z+z'=a+\i b+a'+\i b'=a+a'+\i(b+b'), ce qui prouve les points de la première ligne. Le reste se fait de la même manière.

    Conjugué et module d’un nombre complexe

    Définition

    Soit z=a+\i b un nombre complexe où (a,b)\in\mathbf{R}^2.
  • On appelle complexe conjugué de z que l’on note \overline{z} le nombre complexe défini par :

        \[\overline{z}=a-\i b.\]

  • On appelle module de z que l’on note |z| le nombre réel positif défini par :

        \[|z|=\sqrt{a^2+ b^2}.\]

  • Proposition

    Pour tout nombre complexe z, on a :
  • \Re e(z)=\dfrac{z+\overline{z}}{2}
  • \Im m(z)=\dfrac{z-\overline{z}}{2\i}
  • \overline{\overline{z}}=z
  • |z|^2=z\overline{z}.
  • Démonstration

    Ces résultats s’obtiennent directement à partir des expressions algébriques.

    Remarque

    Le dernier point de la proposition précédente permet de vérifier que l’inverse d’un nombre complexe est encore un nombre complexe.

    En effet, pour tout z\in\mathbf{C}^* :

        \[\dfrac{1}{z}=\dfrac{\overline{z}}{|z|^2}.\]

    Exemple

    Pour mettre sous forme algébrique le complexe \dfrac{3+\i}{1-\i}, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur :

        \[\dfrac{3+\i}{1-\i}=\dfrac{(3+\i)(1+\i)}{(1-\i)(1+\i)}=\dfrac{2+4\i}{2}=1+2\i.\]

    Proposition

    Pour tout nombre complexe z, on a :
  • z=\overline{z}\Longleftrightarrow z\in\mathbf{R}
  • z=-\overline{z}\Longleftrightarrow z\in\i\mathbf{R}.
  • Démonstration

    Soit z=\Re e(z)+\i \Im m(z) un complexe.

        \[z=\overline{z}\Longleftrightarrow \Re e(z)+\i \Im m(z)=\Re e(z)-\i \Im m(z)\Longleftrightarrow \Im m(z)=-\Im m(z) \Longleftrightarrow \Im m(z)=0 \Longleftrightarrow z\in\mathbf{R}$\]

        \[z=-\overline{z}\Longleftrightarrow \Re e(z)+\i b=-\Re e(z)+\i \Im m(z)\Longleftrightarrow \Re e(z)=-\Re e(z) \Longleftrightarrow \Re e(z)=0 \Longleftrightarrow z\in\i\mathbf{R}$\]

    Proposition

    Pour tous nombres complexes z et z', on a :
  • \overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}
  • \overline{zz'}=\overline{z}\overline{z'}
  • \overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{z'}}, z'\neq 0.
  • Démonstration

    Ces résultats s’obtiennent directement à partir des expressions algébriques.

    Proposition

    Pour tout nombre complexe z, on a :
  • |z|=0\Longleftrightarrow z=0
  • |z|=|\overline{z}|
  • \Re e(z)\le |\Re e(z)|\le |z|
  • \Im m(z)\le |\Im m(z)|\le |z|.
  • Démonstration

    Soit z\in\mathbf{C}.
  • On pose z=a+\i b, alors |z|=0\Longleftrightarrow a^2+b^2=0\Longleftrightarrow a=0\text{ et } b=0\Longleftrightarrow z=0.
  • On a |z|^2=z\overline{z}=|\overline{z}|^2.
  • On remarque que \Re e(z)^2\le \Re e(z)^2+\Im m(z)^2=|z|^2. On conclut en utilisant la stricte croissance de la fonction carrée sur \mathbf{R}^+.
  • On remarque que \Im m(z)^2\le \Re e(z)^2+\Im m(z)^2=|z|^2. On conclut en utilisant la stricte croissance de la fonction carrée sur \mathbf{R}^+.
  • Proposition

    Pour tous nombres complexes z et z', on a :
  • |zz'|=|z||z'|.
  • \displaystyle\left|\dfrac{z}{z'}\right|=\dfrac{|z|}{|z'|}, z'\neq 0.
  • Démonstration

  • Pour tous nombres complexes z et z' :

        \[|zz'|^2=zz'\times \overline{zz'}=z\overline{z}\times z'\overline{z'}=|z|^2|z'|^2.\]

  • Pour tous nombres complexes z et z' \neq 0 :

        \[\displaystyle\left|\dfrac{z}{z'}\right|^2=\dfrac{z}{z'}\overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}=\dfrac{z\overline{z}}{z'\overline{z'}}=\dfrac{|z|^2}{|z'|^2}.\]

  • Proposition : identité remarquable

    Pour tous nombres complexes z et z' :

        \[|z+z'|^2=|z|^2+2\Re e(z\overline{z'})+|z'|^2.\]

    Démonstration

    On applique la formule liant module et conjugué :

        \begin{align*} |z+z'|^2 &=(z+z')\overline{(z+z')}\\ 		 &=(z+z')(\overline{z}+\overline{z'})\\ 		 &=z\overline{z}+z\overline{z'}+z'\overline{z}+\overline{z}\overline{z'}\\ 		 &=|z|^2+z\overline{z'}+\overline{z\overline{z'}}+|z'|^2\\ 		 &=|z|^2+2\Re e(z\overline{z'})+|z'|^2. \end{align*}

    Proposition : les inégalités triangulaires

    Pour tous nombres complexes z et z', on a :
  • |z+z'|\le |z|+|z'|.
  • \displaystyle\left||z|-|z'|\right|\le |z-z'|.
  • Démonstration

  • Soient z et z' deux nombres complexes. Alors :

        \[|z+z'|^2=|z|^2+2\Re e(z\overline{z'})+|z'|^2.\]

    Or \Re e(z\overline{z'})\le |z\overline{z'}|. Ainsi :

        \[|z+z'|^2\le|z|^2+2|z\overline{z'}|+|z'|^2=(|z|+|z'|)^2.\]

    La fonction carrée étant strictement croissante sur \mathbb{R}^+, on en déduit que :

        \[|z+z'|\le |z|+|z'|.\]

  • On va utiliser l’inégalité que l’on vient de démontrer. Soient z et z' deux complexes :

        \[|z|=|z-z'+z'|\le |z-z'|+|z'| \text{ et } |z'|=|z'-z+z|\le |z'-z|+|z|.\]

    Ainsi : |z|-|z'|\le |z-z'| \text{ et } |z'|-|z|\le |z-z'|.
    En conclusion, \displaystyle\left||z|-|z'|\right|\le |z-z'|.
  • livre maths mpsi vuibert

    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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    Mélodie
    Journaliste
    Hello ! Spécialisée dans toutes les questions de l'enseignement supérieur et l'orientation, j'espère que mes articles t'aideront à trouver ta voie et devenir la meilleure version de toi-même. Mes autres sujets de prédilection ? L'écologie, la science et la littérature.

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