Si tu as compris ce qu’était la puissance d’un nombre, alors il n’y a aucune raison que tu ne parviennes pas à comprendre ce qu’est la puissance d’une matrice. Dans ce cours, tu trouveras toutes les définitions et les propositions indispensables pour maîtriser la notion de puissance d’une matrice.
📍Définition : Puissance d’une matrice
Soit
Autrement dit,
Pur tout
Exemple : Calculons les puissances de la matrice
On a :
Donc, pour tout
📍 Définition : Matrice nilpotente
SoitRemarque : Une matrice strictement triangulaire (supérieure ou inférieure) est nilpotente.
☝️ Proposition :
SoitDémonstration : On le prouve par récurrence sur .
📍Définition :
SoientExemple :
Donc, la matrice
☝️ Proposition : Formule du binôme de Newton
Soient
Démonstration : On prouve cette formule par récurrence sur en utilisant la formule de Pascal.
🚨ATTENTION 🚨
La commutativité est indispensable, sans l’hypothèse « A et B commutent », on ne peut pas appliquer la formule du binôme de Newton !
et
Donc,
Tout ce qu’on peut écrire est :
Remarque : On sait que les matrices scalaires commutent avec toutes les matrices de . Cette remarque peut faciliter le calcul des puissances de matrices.
Exemple :
SoitOn pose
Notons que :
On en déduit que :
📍Définition :
SoientOn définit la matrice
Exemple :
SoitUn polynôme annulateur permet notamment de trouver les puissances d’une matrice (voir dans la partie « méthodes pas à pas »).
Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720