Qu'est-ce que la puissance d'une matrice ?

Si tu as compris ce qu’était la puissance d’un nombre, alors il n’y a aucune raison que tu ne parviennes pas à comprendre ce qu’est la puissance d’une matrice. Dans ce cours, tu trouveras toutes les définitions et les propositions indispensables pour maîtriser la notion de puissance d’une matrice.

📍Définition : Puissance d’une matrice

Soit $A$ une matrice carrée d’ordre $n$ . On définit les puissances successives de $A$

par :

$$A^0 = I_n$ et $\forall k \in \mathbb{N}, A^{k+1} = A^k \times A$.$

Autrement dit,

$$A^k = \underbrace{A \times ... \times A}_{k fois}$.$

Pur tout $k \in \mathbb{N}$ , la matrice $A^k$ est appelée la puissance k-ième de $A$

Exemple : Calculons les puissances de la matrice

$A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

On a : $A^0 = I_4$

, de plus,

$A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} ,$

$A^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} ,$

$A^4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} .$

Donc, pour tout $n \geq 4, A^n = 0_4 .$

📍 Définition : Matrice nilpotente

Soit $A \in \mathscr{M}_n(\mathbb{K})$ . On dit que $A$ est une matrice nilpotente s’il existe $p \in \mathbb{N}$ tel que $A^p = 0$ . Le plus petit entier $p$ vérifiant $A^p = 0$ est appelé indice de $A$

Remarque : Une matrice strictement triangulaire (supérieure ou inférieure) est nilpotente.

☝️ Proposition :

Soit $A = Diag(\lambda_1,...,\lambda_n)$ une matrice diagonale de $\mathscr{M}_n(\mathbb{K})$ . Avec la convention $0^0 = 1$ , on a, pour tout $k \in \mathbb{N}, A^k = Diag(\lambda_1^k,...,\lambda_n^k)$

Démonstration : On le prouve par récurrence sur $k \in \mathbb{N}$ .

📍Définition :

Soient $A = (a_{i,j})_{1 \leq i, j \leq n} \in \mathbb{M}_n(\mathbb{K})$ et $B = (b_{i,j})_{1 \leq i, j \leq n} \in \mathbb{M}_n(\mathbb{K})$ . On dit que $A$ et $B$ commutent lorsque $AB = BA$

Exemple :

Soit $A \in \mathbb{M}_n(\mathbb{K})$ . On sait que, pour tout $n \in \mathbb{N}, I_n \times A = A \times I_n$

.
Donc, la matrice $I_n$ commute avec toutes les matrices de $\mathbb{M}_n(\mathbb{K})$ . Plus généralement, les matrices scalaires commutent avec toutes les matrices de $\mathbb{M}_n(\mathbb{K})$

On a montré que deux matrices diagonales commutent.

Par récurrence, on montre que : si $A$ et $B$ commutent, alors $B$ commute avec toute puissance de $A$

Les matrices $A= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ et $B= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

ne commutent pas, en effet :

$AB = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ et $BA = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

☝️ Proposition : Formule du binôme de Newton

Soient $A \in \mathbb{M}_n(\mathbb{K})$ et $B \in \mathbb{M}_n(\mathbb{K})$ deux matrices qui commutent. Pour tout $N \in \mathbb{N}$

, on a :

$$(A+B)^N = \sum_{k=0}^n \binom{N}{k} A^k B^{N-k}$.$

Démonstration : On prouve cette formule par récurrence sur $N \in \mathbb{N}$ en utilisant la formule de Pascal.

🚨ATTENTION 🚨

La commutativité est indispensable, sans l’hypothèse « A et B commutent », on ne peut pas appliquer la formule du binôme de Newton !

Par exemple, avec $A= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ et $B= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

, on a

$(A+B)^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

et $A^2+2AB+B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

.

Donc, $(A+B)^2 \ne A^2 + 2AB + B^2$

.
Tout ce qu’on peut écrire est : $(A+B)^2 = (A+B)(B+A) = A^2 + AB + BA + B^2$

Remarque : On sait que les matrices scalaires commutent avec toutes les matrices de $\mathscr{M}_n(\mathbb{K})$ . Cette remarque peut faciliter le calcul des puissances de matrices.

Exemple :

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . Calculer la puissance n-ième de la matrice : $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

.
On pose $N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ de sorte que $A = 2I_3 + N$ . On peut vérifier facilement que la matrice $N$ est nilpotente d’ordre 3, ainsi : $\forall n \geq 3, N^n = 0$ . Les matrices $N$ et $2I_3$

commutent, d’après la formule du binôme de Newton :

$\forall n\in\mathbb{N}, (2I_3+N)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}N^k(2I_3)^{n-k} = 2^nI_3+n2^{n-1}N+ \frac{n(n-1)}{2}2^{n-2}N^2$

.

Notons que : $N^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

.

On en déduit que : $\forall n\in\mathbb{N}$ , $A^n= \begin{pmatrix} 2^n & n2^{n-1} & n(n-1)2^{n-2} \\ 0 & 2^n & n2^{n-1} \\ 0 & 0 & 2^n \end{pmatrix}$

📍Définition :

Soient $P \in \mathbb{K}[X]$ tel que $P= \sum_{k=0}^n a_kX^k$ et $A \in \mathscr{M}_n(\mathbb{K})$

.
On définit la matrice $P(A)$

par :

$$P(A) = \sum_{k=0}^n a_kA^k$.$

On dit que $P$ est un polynôme annulateur de $A$ si $P(A) = 0_n$

Exemple :

Soit $M = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ -4 & 6 \end{pmatrix}$ . On a : $M^2 - 5M + 6I_2 = M^2 - 5M + 6M^0 = 0_2$ . On en déduit que le polynôme $P = X^2 - 5X + 6$ est un polynôme annulateur de $M$

Un polynôme annulateur permet notamment de trouver les puissances d’une matrice (voir dans la partie « méthodes pas à pas »).

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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