Qu’est-ce que la puissance d’une matrice ?

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 22/06/2022
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Si tu as compris ce qu’était la puissance d’un nombre, alors il n’y a aucune raison que tu ne parviennes pas à comprendre ce qu’est la puissance d’une matrice. Dans ce cours, tu trouveras toutes les définitions et les propositions indispensables pour maîtriser la notion de puissance d’une matrice.

📍Définition : Puissance d’une matrice

Soit A une matrice carrée d’ordre n. On définit les puissances successives de A par :

    \[    $A^0 = I_n$ et $\forall k \in \mathbb{N}, A^{k+1} = A^k \times A$. \]

    \[    $A^0 = I_n$ et $\forall k \in \mathbb{N}, A^{k+1} = A^k \times A$. \]


Autrement dit,

    \[    $A^k = \underbrace{A \times ... \times A}_{k fois}$. \]

    \[    $A^k = \underbrace{A \times ... \times A}_{k fois}$. \]


Pur tout k \in \mathbb{N}, la matrice A^k est appelée la puissance k-ième de A.

Exemple : Calculons les puissances de la matrice

A= \begin{pmatrix}    0 & 1 & 0 & 1 \\    0 & 0 & 1 & 0 \\    0 & 0 & 0 & 1 \\    0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

On a : A^0 = I_4, de plus,

A^2 = \begin{pmatrix}    0 & 0 & 1 & 0 \\    0 & 0 & 0 & 1 \\    0 & 0 & 0 & 0 \\    0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}   , A^3 = \begin{pmatrix}    0 & 0 & 0 & 1 \\    0 & 0 & 0 & 0 \\    0 & 0 & 0 & 0 \\    0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}   , A^4 = \begin{pmatrix}    0 & 0 & 0 & 0 \\    0 & 0 & 0 & 0 \\    0 & 0 & 0 & 0 \\    0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}   .

Donc, pour tout n \geq 4, A^n = 0_4 .

📍 Définition : Matrice nilpotente

Soit A \in \mathscr{M}_n(\mathbb{K}). On dit que A est une matrice nilpotente s’il existe p \in \mathbb{N} tel que A^p = 0. Le plus petit entier p vérifiant A^p = 0 est appelé indice de A.

Remarque : Une matrice strictement triangulaire (supérieure ou inférieure) est nilpotente.

☝️ Proposition :

Soit A = Diag(\lambda_1,...,\lambda_n) une matrice diagonale de \mathscr{M}_n(\mathbb{K}). Avec la convention 0^0 = 1, on a, pour tout k \in \mathbb{N}, A^k = Diag(\lambda_1^k,...,\lambda_n^k).

Démonstration : On le prouve par récurrence sur k \in \mathbb{N}

Démonstration : On le prouve par récurrence sur k \in \mathbb{N}.

📍Définition :

Soient A = (a_{i,j})_{1 \leq i, j \leq n} \in \mathbb{M}_n(\mathbb{K}) et B = (b_{i,j})_{1 \leq i, j \leq n} \in \mathbb{M}_n(\mathbb{K}). On dit que A et B commutent lorsque AB = BA.

Exemple :

  • Soit A \in \mathbb{M}_n(\mathbb{K}). On sait que, pour tout n \in \mathbb{N}, I_n \times A = A \times I_n
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