Qu’est-ce que la puissance d’une matrice ?

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 22/06/2022
puissance d'une matrice

Si tu as compris ce qu’était la puissance d’un nombre, alors il n’y a aucune raison que tu ne parviennes pas à comprendre ce qu’est la puissance d’une matrice. Dans ce cours, tu trouveras toutes les définitions et les propositions indispensables pour maîtriser la notion de puissance d’une matrice.

📍Définition : Puissance d’une matrice

Soit A une matrice carrée d’ordre n. On définit les puissances successives de A par :

    \[    $A^0 = I_n$ et $\forall k \in \mathbb{N}, A^{k+1} = A^k \times A$. \]


Autrement dit,

    \[    $A^k = \underbrace{A \times ... \times A}_{k fois}$. \]


Pur tout k \in \mathbb{N}, la matrice A^k est appelée la puissance k-ième de A.

Exemple : Calculons les puissances de la matrice

A= \begin{pmatrix}    0 & 1 & 0 & 1 \\    0 & 0 & 1 & 0 \\    0 & 0 & 0 & 1 \\    0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

On a : A^0 = I_4, de plus,

A^2 = \begin{pmatrix}    0 & 0 & 1 & 0 \\    0 & 0 & 0 & 1 \\    0 & 0 & 0 & 0 \\    0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}   , A^3 = \begin{pmatrix}    0 & 0 & 0 & 1 \\    0 & 0 & 0 & 0 \\    0 & 0 & 0 & 0 \\    0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}   , A^4 = \begin{pmatrix}    0 & 0 & 0 & 0 \\    0 & 0 & 0 & 0 \\    0 & 0 & 0 & 0 \\    0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}   .

Donc, pour tout n \geq 4, A^n = 0_4 .

📍 Définition : Matrice nilpotente

Soit A \in \mathscr{M}_n(\mathbb{K}). On dit que A est une matrice nilpotente s’il existe p \in \mathbb{N} tel que A^p = 0. Le plus petit entier p vérifiant A^p = 0 est appelé indice de A.

Remarque : Une matrice strictement triangulaire (supérieure ou inférieure) est nilpotente.

☝️ Proposition :

Soit A = Diag(\lambda_1,...,\lambda_n) une matrice diagonale de \mathscr{M}_n(\mathbb{K}). Avec la convention 0^0 = 1, on a, pour tout k \in \mathbb{N}, A^k = Diag(\lambda_1^k,...,\lambda_n^k).

Démonstration : On le prouve par récurrence sur k \in \mathbb{N}.

📍Définition :

Soient A = (a_{i,j})_{1 \leq i, j \leq n} \in \mathbb{M}_n(\mathbb{K}) et B = (b_{i,j})_{1 \leq i, j \leq n} \in \mathbb{M}_n(\mathbb{K}). On dit que A et B commutent lorsque AB = BA.

Exemple :

  • Soit A \in \mathbb{M}_n(\mathbb{K}). On sait que, pour tout n \in \mathbb{N}, I_n \times A = A \times I_n.
    Donc, la matrice I_n commute avec toutes les matrices de \mathbb{M}_n(\mathbb{K}). Plus généralement, les matrices scalaires commutent avec toutes les matrices de \mathbb{M}_n(\mathbb{K}).
  • On a montré que deux matrices diagonales commutent.
  • Par récurrence, on montre que : si A et B commutent, alors B commute avec toute puissance de A.
  • Les matrices A= \begin{pmatrix}    0 & 1 \\    1 & 0  \end{pmatrix} et B= \begin{pmatrix}    1 & 0 \\    0 & 0  \end{pmatrix} ne commutent pas, en effet :

    AB = \begin{pmatrix}    0 & 0 \\    1 & 0  \end{pmatrix} et BA = \begin{pmatrix}    0 & 1 \\    0 & 0  \end{pmatrix}.
  • ☝️ Proposition : Formule du binôme de Newton

    Soient A \in \mathbb{M}_n(\mathbb{K}) et B \in \mathbb{M}_n(\mathbb{K}) deux matrices qui commutent. Pour tout N \in \mathbb{N}, on a :

        \[    $(A+B)^N = \sum_{k=0}^n \binom{N}{k} A^k B^{N-k}$. \]

    Démonstration : On prouve cette formule par récurrence sur N \in \mathbb{N} en utilisant la formule de Pascal.

    🚨ATTENTION 🚨

    La commutativité est indispensable, sans l’hypothèse « A et B commutent », on ne peut pas appliquer la formule du binôme de Newton !

    Par exemple, avec A= \begin{pmatrix}    0 & 1 \\    1 & 0  \end{pmatrix} et B= \begin{pmatrix}    1 & 0 \\    0 & 0  \end{pmatrix}, on a

    (A+B)^2 = \begin{pmatrix}    1 & 1 \\    1 & 0  \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}    2 & 1 \\    1 & 1  \end{pmatrix}

    et A^2+2AB+B^2 = \begin{pmatrix}    1 & 0 \\    0 & 1  \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix}    0 & 0 \\    1 & 0  \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}    1 & 0 \\    0 & 0  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}    2 & 0 \\    2 & 1  \end{pmatrix}.

    Donc, (A+B)^2 \ne A^2 + 2AB + B^2.
    Tout ce qu’on peut écrire est : (A+B)^2 = (A+B)(B+A) = A^2 + AB + BA + B^2.

    Remarque : On sait que les matrices scalaires commutent avec toutes les matrices de \mathscr{M}_n(\mathbb{K}). Cette remarque peut faciliter le calcul des puissances de matrices.

    Exemple :

    Soit n \in \mathbb{N}^*. Calculer la puissance n-ième de la matrice : A = \begin{pmatrix}    2 & 1 & 3 \\    0 & 2 & 1 \\    0 & 0 & 2  \end{pmatrix}.
    On pose N = \begin{pmatrix}    0 & 1 & 3 \\    0 & 0 & 1 \\    0 & 0 & 0  \end{pmatrix} de sorte que A = 2I_3 + N. On peut vérifier facilement que la matrice N est nilpotente d’ordre 3, ainsi : \forall n \geq 3, N^n =  0. Les matrices N et 2I_3 commutent, d’après la formule du binôme de Newton :

    \forall n\in\mathbb{N}, (2I_3+N)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}N^k(2I_3)^{n-k} = 2^nI_3+n2^{n-1}N+ \frac{n(n-1)}{2}2^{n-2}N^2.

    Notons que : N^2 = \begin{pmatrix}    0 & 0 & 1 \\    0 & 0 & 0 \\    0 & 0 & 0  \end{pmatrix}.

    On en déduit que : \forall n\in\mathbb{N}, A^n= \begin{pmatrix}    2^n & n2^{n-1} & n(n-1)2^{n-2} \\    0 & 2^n & n2^{n-1} \\    0 & 0 & 2^n  \end{pmatrix}.

    📍Définition :

    Soient P \in \mathbb{K}[X] tel que P= \sum_{k=0}^n a_kX^k et A \in \mathscr{M}_n(\mathbb{K}).
    On définit la matrice P(A) par :

        \[    $P(A) = \sum_{k=0}^n a_kA^k$. \]

    On dit que P est un polynôme annulateur de A si P(A) = 0_n.

    Exemple :

    Soit M = \begin{pmatrix}    -1 & 3 \\    -4 & 6  \end{pmatrix}. On a : M^2 - 5M + 6I_2 = M^2 - 5M + 6M^0 = 0_2. On en déduit que le polynôme P =  X^2 - 5X + 6 est un polynôme annulateur de M.

    Un polynôme annulateur permet notamment de trouver les puissances d’une matrice (voir dans la partie « méthodes pas à pas »).

    livre maths mpsi vuibert

    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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