Comment déterminer l’argument d’un nombre complexe ?

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 13/06/2022
argument d'un nombre complexe

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Argument d’un nombre complexe

Définition

Soit z un nombre complexe non nul. L’ensemble des arguments de z est l’ensemble des antécédents de \dfrac{z}{|z|} par l’application exponentielle complexe définie dans la partie précédente.
Un argument de z sera noté \arg(z).

Remarque

Si \theta_0 est un argument de z, l’ensemble des arguments de z est donné par \big\{\theta_0+2k\pi,\;k\in\Z\big\}. On dit que les arguments de z sont tous égaux modulo 2\pi, on note \arg(z)\equiv \theta_0\,[2\pi]. En général, on choisira un argument contenu dans [0, 2\pi[ ou dans ] - \pi, \pi].

Exemples

  • \arg(1)=0\,[2\pi]
  • \arg(\i)=0\,[\dfrac{\pi}{2}]
  • \arg(-1)=\pi\,[2\pi]
  • Proposition

    Soit z un nombre complexe non nul et \theta un de ses arguments. Alors :

        \[z=|z|e^{\i\theta}.\]

    Cette expression est appelée forme trigonométrique de z.

    Remarque

    On rencontre souvent la notation \theta \in ] - \pi, \pi] pour l’argument de z\in\mathbb{C}^* et \rho\in\mathbb{R}_+^* pour son module. La forme trigonométrique de z s’écrit alors z=\rho e^{\i \theta}.

    Proposition

    Soient deux complexes z et z' avec z' \neq 0 tels que : z=\rho e^{\i\theta} et z'=\rho 'e^{\i\theta'}. Alors :
  • zz'=\rho\rho 'e^{\i(\theta+\theta')}.
  • \dfrac{z}{z'}=\dfrac{\rho}{\rho '}e^{\i(\theta-\theta')}.
  • Démonstration

    Ces résultats se déduisent directement des propriétés de l’exponentielle complexe.

    Corollaire

    Soient z et z' deux nombres complexes non nuls, alors :
  • \arg(zz')\equiv\arg(z)+\arg(z')\,[2\pi]
  • \arg(\dfrac{z}{z'})\equiv\arg(z)-\arg(z')\,[2\pi]
  • \arg(\overline{z})=\arg\left(\dfrac{1}{z}\right)\equiv-\arg(z)\,[2\pi]
  • \forall n\in\mathbb{Z}, \arg(z^n)\equiv n\arg(z)\,[2\pi]
  • Démonstration

    Pas de difficulté si on utilise la forme trigonométrique. Le dernier point se montre par récurrence.

    Exemple

    Soit z=\dfrac{1-\i}{\i}.
    On peut vérifier que 1-\i= e^{-\i\pi/4} et \i= e^{\i\pi/2} (voir point méthodologique). Alors :

        \[\displaystyle\arg\left(\dfrac{1-\i}{\i}\right)=\arg(1-\i)-\arg(\i)\,[2\pi]=-\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]=\dfrac{\pi}{4}\,[2\pi].\]

    De plus \displaystyle\left|\dfrac{1-\i}{\i}\right|=\sqrt{2}. On en déduit donc que : z=\sqrt{2}e^{\i\pi/4}.
    livre maths mpsi vuibert

    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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