Déterminer l'argument d'un nombre complexe

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Argument d’un nombre complexe

Définition

Soit $z$ un nombre complexe non nul. L’ensemble des arguments de $z$ est l’ensemble des antécédents de $\dfrac{z}{|z|}$

un nombre complexe non nul. L’ensemble des arguments de $z$

est l’ensemble des antécédents de $\dfrac{z}{|z|}$ par l’application exponentielle complexe définie dans la partie précédente.
Un argument de $z$ sera noté $\arg(z)$

sera noté $\arg(z)$ .

Remarque

Si $\theta_0$ est un argument de $z$ , l’ensemble des arguments de $z$ est donné par $\big\{\theta_0+2k\pi,\;k\in\Z\big\}$ . On dit que les arguments de $z$ sont tous égaux modulo $2\pi$ , on note $\arg(z)\equiv \theta_0\,[2\pi]$ . En général, on choisira un argument contenu dans $[0, 2\pi[$ ou dans $] - \pi, \pi]$

, l’ensemble des arguments de $z$

est donné par $\big\{\theta_0+2k\pi,\;k\in\Z\big\}$ . On dit que les arguments de $z$

sont tous égaux modulo $2\pi$ , on note $\arg(z)\equiv \theta_0\,[2\pi]$ . En général, on choisira un argument contenu dans $[0, 2\pi[$ ou dans $] - \pi, \pi]$ .

Exemples

$\arg(1)=0\,[2\pi]$

$\arg(\i)=0\,[\dfrac{\pi}{2}]$

$\arg(-1)=\pi\,[2\pi]$

Proposition

Soit $z$ un nombre complexe non nul et $\theta$

un nombre complexe non nul et $\theta$ un de ses arguments. Alors :

$z=|z|e^{\i\theta}.$

Cette expression est appelée forme trigonométrique de $z$

Remarque

On rencontre souvent la notation $\theta \in ] - \pi, \pi]$ pour l’argument de $z\in\mathbb{C}^*$ et $\rho\in\mathbb{R}_+^*$ pour son module. La forme trigonométrique de $z$

s’écrit alors $z=\rho e^{\i \theta}$ .

Proposition

Soient deux complexes $z$

et $z'$ avec $z' \neq 0$ tels que : $z=\rho e^{\i\theta}$ et $z'=\rho 'e^{\i\theta'}$ . Alors :

$zz'=\rho\rho 'e^{\i(\theta+\theta')}$

$\dfrac{z}{z'}=\dfrac{\rho}{\rho '}e^{\i(\theta-\theta')}$

Démonstration

Ces résultats se déduisent directement des propriétés de l’exponentielle complexe.

Corollaire

Soient $z$

et $z'$ deux nombres complexes non nuls, alors :

$\arg(zz')\equiv\arg(z)+\arg(z')\,[2\pi]$

$\arg(\dfrac{z}{z'})\equiv\arg(z)-\arg(z')\,[2\pi]$

$\arg(\overline{z})=\arg\left(\dfrac{1}{z}\right)\equiv-\arg(z)\,[2\pi]$

$\forall n\in\mathbb{Z}$ , $\arg(z^n)\equiv n\arg(z)\,[2\pi]$

Démonstration

Pas de difficulté si on utilise la forme trigonométrique. Le dernier point se montre par récurrence.

Exemple

Soit $z=\dfrac{1-\i}{\i}$

.
On peut vérifier que $1-\i= e^{-\i\pi/4}$ et $\i= e^{\i\pi/2}$

(voir point méthodologique). Alors :

$\displaystyle\arg\left(\dfrac{1-\i}{\i}\right)=\arg(1-\i)-\arg(\i)\,[2\pi]=-\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]=\dfrac{\pi}{4}\,[2\pi].$

De plus $\displaystyle\left|\dfrac{1-\i}{\i}\right|=\sqrt{2}.$

On en déduit donc que : $z=\sqrt{2}e^{\i\pi/4}.$

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720