Déterminer l'argument d'un nombre complexe

Comment déterminer l’argument d’un nombre complexe ?

William Mievre - Mis à jour le 13/06/2022

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Argument d’un nombre complexe

Définition

Soit $z$

un nombre complexe non nul. L’ensemble des arguments de $z$

est l’ensemble des antécédents de $\dfrac{z}{|z|}$

par l’application exponentielle complexe définie dans la partie précédente.
Un argument de $z$

sera noté $\arg(z)$

Remarque

Si $\theta_0$

est un argument de $z$

, l’ensemble des arguments de $z$

est donné par $\big\{\theta_0+2k\pi,\;k\in\Z\big\}$

. On dit que les arguments de $z$

sont tous égaux modulo $2\pi$

, on note $\arg(z)\equiv \theta_0\,[2\pi]$

. En général, on choisira un argument contenu dans $[0, 2\pi[$

ou dans $] - \pi, \pi]$

Exemples

$\arg(1)=0\,[2\pi]$

$\arg(\i)=0\,[\dfrac{\pi}{2}]$

$\arg(-1)=\pi\,[2\pi]$

Proposition

Soit $z$

un nombre complexe non nul et $\theta$

un de ses arguments. Alors :

$z=|z|e^{\i\theta}.$

Cette expression est appelée forme trigonométrique de $z$

Remarque

On rencontre souvent la notation $\theta \in ] - \pi, \pi]$

pour l’argument de $z\in\mathbb{C}^*$

et $\rho\in\mathbb{R}_+^*$

pour son module. La forme trigonométrique de $z$

s’écrit alors $z=\rho e^{\i \theta}$

Proposition

Soient deux complexes $z$

et $z'$

avec $z' \neq 0$

tels que : $z=\rho e^{\i\theta}$

et $z'=\rho 'e^{\i\theta'}$

. Alors :

$zz'=\rho\rho 'e^{\i(\theta+\theta')}$

$\dfrac{z}{z'}=\dfrac{\rho}{\rho '}e^{\i(\theta-\theta')}$

Démonstration

Ces résultats se déduisent directement des propriétés de l’exponentielle complexe.

Corollaire

Soient $z$

et $z'$

deux nombres complexes non nuls, alors :

$\arg(zz')\equiv\arg(z)+\arg(z')\,[2\pi]$

$\arg(\dfrac{z}{z'})\equiv\arg(z)-\arg(z')\,[2\pi]$

$\arg(\overline{z})=\arg\left(\dfrac{1}{z}\right)\equiv-\arg(z)\,[2\pi]$

$\forall n\in\mathbb{Z}$

, $\arg(z^n)\equiv n\arg(z)\,[2\pi]$

Démonstration

Pas de difficulté si on utilise la forme trigonométrique. Le dernier point se montre par récurrence.

Exemple

Soit $z=\dfrac{1-\i}{\i}$

.
On peut vérifier que $1-\i= e^{-\i\pi/4}$

et $\i= e^{\i\pi/2}$

(voir point méthodologique). Alors :

$\displaystyle\arg\left(\dfrac{1-\i}{\i}\right)=\arg(1-\i)-\arg(\i)\,[2\pi]=-\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]=\dfrac{\pi}{4}\,[2\pi].$

De plus $\displaystyle\left|\dfrac{1-\i}{\i}\right|=\sqrt{2}.$

On en déduit donc que : $z=\sqrt{2}e^{\i\pi/4}.$

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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Argument d’un nombre complexe

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William Mievre

Co-fondateur des Sherpas

Passé par une Prépa HEC puis l'ESCP, j'ai donné des centaines d'heures de cours particuliers avant de créer Les Sherpas avec Étienne. Passionné d'éducation, je te partage désormais mes meilleurs conseils afin de t'aider à réussir et t'épanouir dans tes études. Cheers ✌️💖 !

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