Cours sur la loi de composition interne

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 04/07/2022
loi de composition interne

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Définition : Loi de composition interne

On appelle loi de composition interne toute application \varphi : E \times E \rightarrow E. Si (x,y)\in\mathbb{E}^2, plutôt qu’utiliser la notation \varphi (x,y), nous utiliserons la notation x\star _E y.

Exemples :

  • L’addition et la multiplication sont des lois de composition interne sur \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R} et \mathbb{C}.
  • La loi \star définie sur \mathbb{N}^2 par a \star b = a^b est une loi de composition interne sur \mathbb{N}.
  • La soustraction est une loi de composition interne sur \mathbb{Z}, mais pas sur \mathbb{N}.
  • Si E est un ensemble, les opérations \cap et \cup sont des lois de composition internes sur \mathcal{P}(E).
  • Définition : Associativité et commutativité d’une loi de composition interne

    Soit E un ensemble muni d’une loi de composition interne \star _E.
  • La loi \star _E est associative si :

        \[    $\forall (x,y,z) \in E^3$, $(x\star _Ey)\star _Ez = x\star _E(y\star_Ez)$. \]

    Lorsque la loi \star_E est associative, on peut écrire plus simplement x\star_E y\star_E z car l’ordre dans lequel sont faites les opérations n’importe pas.
  • La loi \star _E est commutative si :

        \[    $\forall (x,y) \in\ E^2$, $x\star _Ey = y\star _Ex$. \]

  • La loi \star _E admet un élément neutre e si :

        \[    $\forall x \in E$, $x\star _Ee = e\star _Ex = x$. \]

  • On suppose ici que \star _E admet un élément neutre e. Soit x \in E. S’il existe x \in E tel que x\star _Ey = y\star _Ex = e , on dit que x est inversible et que son inverse est y.
  • Définition : Distributivité d’une loi de composition interne

    Soit E un ensemble muni de deux lois de composition internes notées \star_1 et \star_2. On dit que :
  • \star_1 est distributive sur \star_2 à gauche si :

        \[    $\forall (x,y,z) \in E^3$, $x\star_1(y\star_2z) = (x\star_1y)\star_2(z\star_1x)$. \]

  • \star_1 est distributive sur \star_2 à droite si :

        \[    $\forall (x,y,z) \in E^3$, $(y\star_2z)\star_1x = (y\star_1x)\star_2(z\star_1x)$. \]

  • Définition : Partie stable

    Soit E un ensemble muni d’une loi de composition interne \star_E. Soit F une partie non vide de E. On dit que F est stable pour \star_E si pour tout (x,y) \in E^2, (x,y) \in F^2 \Rightarrow x\star_Ey \in F.
    livre maths mpsi vuibert

    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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