Tu cherches un cours sur la loi de composition interne ? C’est ici ! Tu trouveras toutes les définitions indispensables pour maîtriser cette notion de mathématiques et briller lors de ta prochaine interro de cours !
Définition : Loi de composition interne
On appelle loi de composition interne toute application .
Si , plutôt qu’utiliser la notation , nous utiliserons la notation .
Exemples :
L’addition et la multiplication sont des lois de composition interne sur , , et .
La loi définie sur par est une loi de composition interne sur .
La soustraction est une loi de composition interne sur , mais pas sur .
Si est un ensemble, les opérations et sont des lois de composition internes sur .
Définition :Associativité et commutativité d’une loi de composition interne
Soit un ensemble muni d’une loi de composition interne .
La loi est associative si :
Lorsque la loi est associative, on peut écrire plus simplement car l’ordre dans lequel sont faites les opérations n’importe pas.
La loi est commutative si :
La loi admet un élément neutre si :
On suppose ici que admet un élément neutre . Soit . S’il existe tel que , on dit que est inversible et que son inverse est .
Définition : Distributivitéd’une loi de composition interne
Soit un ensemble muni de deux lois de composition internes notées et . On dit que :
est distributive sur à gauche si :
est distributive sur à droite si :
Définition : Partie stable
Soit un ensemble muni d’une loi de composition interne . Soit une partie non vide de . On dit que est stable pour si pour tout , .
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Si 
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. 
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![\[ $\forall (x,y,z) \in E^3$, $(x\star _Ey)\star _Ez = x\star _E(y\star_Ez)$. \]](https://sherpas.com/blog/content/ql-cache/quicklatex.com-72a3bb354dfb96705d553659f7dd5dc2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
car l’ordre dans lequel sont faites les opérations n’importe pas.![\[ $\forall (x,y) \in\ E^2$, $x\star _Ey = y\star _Ex$. \]](https://sherpas.com/blog/content/ql-cache/quicklatex.com-259a51c9235895ddf2904e7650b7530f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
si :
![\[ $\forall x \in E$, $x\star _Ee = e\star _Ex = x$. \]](https://sherpas.com/blog/content/ql-cache/quicklatex.com-df7ef1d57f89449a9c6052e1e4f7827a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
.
. On dit que :
![\[ $\forall (x,y,z) \in E^3$, $x\star_1(y\star_2z) = (x\star_1y)\star_2(z\star_1x)$. \]](https://sherpas.com/blog/content/ql-cache/quicklatex.com-ddc13bf247ad8efd3602527c2ac75952_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ $\forall (x,y,z) \in E^3$, $(y\star_2z)\star_1x = (y\star_1x)\star_2(z\star_1x)$. \]](https://sherpas.com/blog/content/ql-cache/quicklatex.com-f8db41789e99dcedc323261c8ae106c9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
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