Tout savoir sur les identités remarquables – 3ᵉ 😎

Caroline Roda - Mis à jour le 30/09/2022
identité remarquable ©Roda Caroline

Le programme de mathématique de 3ᵉ est riche en complexité. C’est pourquoi chez les Sherpas, on s’engage à te donner quelques explications supplémentaires sur tes cours. Aujourd’hui, on va te parler des identités remarquables, chapitre incontournable de ton année de troisième ! Prêt ? Allons-y ! 🔥

Identité remarquable, le pourquoi du comment 🧐

Avant de se lancer dans des explications et des démonstrations qui donnent mal à la tête, voyons les bases de cette leçon. 

💡 Étymologie

  • Le mot identité vient du latin identitas qui signifie “le même”. Le terme identité définit la similitude entre deux choses (ou plus). En maths, une identité représente une égalité entre deux éléments (même s’ils n’ont pas la même valeur). Cette égalité se justifie et est vérifiée à l’aide de calcul.  
  • Le mot remarquable est un dérivé du mot remarquer qui signifie “qui attire l’attention”. Autrement dit, remarquable donne à son objet quelque chose de particulier, qui ne passe pas inaperçu. 

Une identité remarquable est une expression mathématique unique. Elle sert à établir une formule simple et efficace pour calculer deux égalités. Si par exemple deux nombres, deux aires, deux périmètres ou encore deux poids sont égaux. 

Elle permet d’accélérer des calculs, simplifier certaines écritures, factoriser ou même développer des expressions mathématiques. Notamment, résoudre des équations du second degré (x2).

💡 Anecdote

Les premières traces d’identité remarquable au second degré voient le jour à l’époque des Babyloniens. Déjà, ils utilisaient cette technique pour calculer des superficies à l’aide de la géométrie !

Exemple : 

Voici une surface géométrique — ici un carré —, pour t’expliquer l’origine de ce calcul. Tu peux observer que ce carré est composé de 4 parties. Il existe deux manières de la calculer.

identité remarquable

👉 On utilise la version simple : côté×côté = aire du carré. La longueur d’un côté est égale à a+b. Ce qui nous donne (a+b)×(a+b)= (a+b)²

👉 On calcul partie par partie.

  • Ce que l’on définit comme , n’est autre que la multiplication de la valeur a par elle-même : a² = a×a. Autrement dit, peut être considéré comme l’aire d’un carré dont le côté mesure a (base de la leçon sur les aires vu en 6ᵉ).
  • Il en va de même pour b² : c’est un carré de longueur b, donc sa surface est égale à b×b = b².
  • En ce qui concerne les deux autres parties, elles sont égales à a×b = ab, il y en a deux ainsi le pour faire plus simple, on l’écrit : 2ab soit 2×a×b. 

C’est ainsi qu’on découvre l’identité remarquable car (a+b)² = a² + 2ab + b² 

À lire aussi

Il existe beaucoup d’identités remarquables. En 3ᵉ, tu étudie celle du second degré, qui sont au nombre de trois :

👉  (a+b)² = a² + 2ab + b² 

👉  (a-b)² = a² – 2ab + b²

👉  (a+b) (a-b) = a² – b²

📍 a et b désignent des nombres (entier, rationnel ou réel). 

📍 Un chiffre au carré représente la multiplication du chiffre par lui-même. 

Exemples : 22 = 2×2 = 4

Chacune d’entre elles représente le calcul littéral d’une équation. Tu l’as sûrement déjà vu pendant tes cours de maths de 4ᵉ, mais ici aussi, il faut utiliser le principe de distributivité

Pour obtenir la somme de ton équation, tu auras besoin de faire soit un développement avec le principe de la distributivité, soit une factorisation.

📖 Définition

Un développement est l’action de transformer un produit (multiplication) en somme (addition ou soustraction).

Une factorisation est matérialisée par la transformation d’une somme en produit.

À lire aussi

La première identité remarquable ✨

L’égalité (a+b)² = a² + 2ab + b²  est la première que l’on retrouve dans le livre II des Éléments d’Euclide

📗 Démonstration 

Pour démontrer une égalité, il suffit de la développer. Voici la méthode pour développer ton égalité. 
Si a et b sont deux nombres, alors on peut développer (a+b)2.

(a+b)= (a+b) x (a+b) 

= a×a + a×b + b×a + b×b 

= a2 + ab + ba + b2

= a2 + 2ab + b2
Donc, (a+b)² = a² + 2ab + b²

Exemples 

👉 Sans inconnue.

Si a = 5 et b = 2.

On a : (5+2)2

(5+2)2  = (5+2) x (5+2)

= 5×5 + 2×5 + 5×2 + 2×2

= 52 + 10 + 10 + 22

= 25 + 10 + 10 + 4 

= 49 

Maintenant, tu comprends la démonstration sur le plan technique. Il faut tout de même savoir qu’une identité remarquable est, en grande majorité du temps, rencontrée avec une inconnue. 🤓

👉 Avec une inconnue. 

Si a = 4x et b = 2.

On a : (4x+2)2

(4x+2)2= (4x+2) x (4x+2) 

=(4x)2 + 4x × 2 + 2 × 4x + 22

= 16x² + 8x + 8x + 4 

= 16x² + 16x + 4 

❌ Attention : Lorsqu’il y a une inconnue, ne pas oublier de mettre le nombre avec x² – (6x)² – entre parenthèses pour ne pas fausser les résultats !

✒️ Exercices 

Développe les expressions suivantes :

  1. (x+6)² 
  2. (5+2x)²
  3. (x+10)²
  4. (6x+1)²

Réponses 

  • (x+6)² = x² + 6x + 6x + 6² 

          = x² + 12x + 36

  • (5+2x)² = 5² + 5x × 2 + 2 × 5x + 2² 

             = 25 + 10x + 10x + 4

             = 25 + 20x + 4

  • (x+10)² = x² + 10x + 10x + 10²

= x² + 20x + 100

  • (6x+1)² = (6x)² + 6x × 1 + 1 × 6x + 1²

= 36x² + 12x + 1

À lire aussi

La deuxième identité remarquable 💫

La seconde identité remarquable est un dérivé de la première. La seule différence, c’est le signe utilisé :  (a-b)² = a² – 2ab + b² 

📘 Démonstration 

Comme vu précédemment, pour utiliser cette identité remarquable, il faut la développer. C’est parti ! 

Si a et b sont deux nombres, alors on peut développer (a-b)2.

(a-b)²   = (a-b) x (a-b)

= axa – a×b – b×a – b×(-b) 

= a² – 2ab + b²

❌ Attention : En mathématiques, un chiffre négatif multiplié par ce même chiffre négatif devient positif. On te propose une phrase mnémotechnique : moins par moins égale plus (- x – = +).

Exemples 

👉 Sans inconnue.

Si a = 5 et b = 2.

On a : (5-2)2

(5-2)2  = (5-2) x (5-2)

= 5×5 – 2×5 – 5×2 – 2× (-2)  

= 5×5 – 2×5 – 5×2 + 2²

= 52 – 10 – 10 + 22

= 25 – 10 – 10 + 4 

= 9

Désormais, tu peux voir que chaque identité remarquable est propre à elle-même. Encore une fois, il est rare que tu la rencontres sans inconnue. 

👉 Avec une inconnue. 

Si a = 4x et b = 2.

On a : (4x-2)2

(4x-2)2= (4x-2) x (4x-2) 

=(4x)2 – 4x × 2 – 2 × 4x – 2 x (-2)

= (4x)2 – 4x × 2 – 2 × 4x + 2²

= 16x² – 8x – 8x + 4 

= 16x² – 16x + 4 

✒️ Exercices

Développe les expressions suivantes : 

  1. (6x-1)² 
  2. (8-5x)²
  3. (2x-4)²
  4. (10x-5)²

Résultats 

  • (6x-1)² = (6x)² – 6x × 1 – 1 × 6x +

= 36x² – 6x – 6x + 1

= 36x² – 12x + 1

  • (8-5x)² = 8² – 8 × 5x – 5x × 8 + (5x)²

= 64 – 40x – 40x + 25x²

= 64 – 80x + 25x²

  • (2x-4)² = (2x)² – 2x × 4 – 4 × 2x + 4² 

= 4x² – 8x – 8x + 16

= 4x² – 16x + 16 

  • (10x-5)² = (10x)² – 10x×5 – 5×10x + 5² 

= 100x² – 50x – 50x + 25 

= 100x² – 100x + 25

La troisième identité remarquable 🌟

Jamais deux sans trois comme on dit, voici enfin la troisième identité remarquable : (a+b) (a-b) = a² – b² 

📙 Démonstration 

Si a et b sont deux nombres, alors on peut développer (a+b) (a-b).

(a+b) (a-b) = a×a – a×b + b×a – b×b

      = a² – ab + ab – b²

      =  a² – b²

Donc :  (a+b) (a-b) = a² – b² 

❌ Attention : En mathématiques, un nombre négatif additionné à ce même nombre positif s’annule : il est égal à 0. On te propose un deuxième mnémotechnique : plus par moins (ou moins par plus) est égal à zéro (+ par – = 0).

Exemples 

👉 Sans inconnue.

Si a = 3 et b = 2.

(3+2) (3-2) = 3² – 3×2 + 2×3 – 2²

      = 9 – 6 + 6 – 4

      = 9 – 4 

      = 5

– 6 + 6 = 0 

À présent que tu visualises bien cet ultime calcul, sache que, comme pour les deux précédents, tu le rencontreras toujours avec une inconnue.

👉 Avec une inconnue.

Si a = 6x et b = 4.

(6x+4) (6x-4) = (6x)² – 4² 

          = 36x² – 16

✒️ Exercices  

Développe les expressions suivantes :

  1. (4x-2) (4x+2) 
  2. (x+8) (x-8)
  3. (10x+3) (10x-3)
  4. (6x-7) (6x+7)

Réponses

  • (4x-2) (4x+2) = (4x)² – (-2)²

          = 16x² – 4 

  • (x+8) (x-8) = x² – 8²

      = x² – 64

  • (10x+3) (10x-3) = (10x)² – 3²

  = 100x² – 9 

  • (6x-7) (6x+7) = (6x)² – (-7)²

          = 36x² – 49

Si tu as des difficultés à comprendre cette leçon, on a une autre solution pour toi ! Tu peux faire appelle à un de nos super professeurs particuliers de maths. Tu peux choisir le prof idéal pour toi en recherchant selon ton niveau, la matière que tu souhaites améliorer et ta zone géographique. N’hésite pas à faire un tour sur notre plateforme. 🤗

La pratique 🧑‍💻

Maintenant, tu connais les trois identités remarquables. Tu sais comment les utiliser et les développer. La seule chose qu’il te reste à apprendre est de les reconnaître pour savoir laquelle utiliser. 

Pour ça aussi, chez les Sherpas, on a une méthode infaillible à te donner (mais c’est un secret alors ne le dis à personne) ! 

Reconnaître l’identité remarquable 👀

Pour reconnaître l’identité remarquable que tu dois utiliser dans ton énoncé, rien de plus simple ! On te donne la petite astuce (mais ne le répète pas).

La première identité est une addition :  (a+b)² 

La deuxième identité est une soustraction : (ab)²

La troisième est les deux en même temps : (a+b) (ab) 

Tadam ! Les identités remarquables n’ont désormais plus aucun secret pour toi. N’oublie pas de bien t’entrainer. On ne le répétera jamais assez : faire des exercices est le meilleur moyen de réussir tes examens ! 🥳

Si tu souhaites anticiper les cours de mathématiques qui t’attendent l’an prochain, tu peux jeter un œil au programme de math de Seconde !

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