Qu’est-ce que le procédé de Gram-Schmidt ?

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 29/05/2022
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Tu te demandes ce qu’est le procédé de Gram Schmidt ? On te répond juste ici, avec ce cours complet sur le procédé de Gram Schmidt ! Tu pourras même profiter de précieux conseils méthodologiques 😉

☝️ Proposition : Procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt

Soit (e_1,...e_p) une famille libre de vecteurs de E. Il existe une unique famille orthonormée (\varepsilon_1,...,\varepsilon_p) vérifiant :

    \[$\forall k\in[\![1,p]\!]$, Vect$(e_1,...,e_k)=$Vect$(\varepsilon_1,...,\varepsilon_k)$.\]

    \[$\forall k\in[\![1,p]\!]$, Vect$(e_1,...,e_k)=$Vect$(\varepsilon_1,...,\varepsilon_k)$.\]

Démonstration :

On procède par récurrence sur p.
\textbf{Initialisation : } Lorsque p=1. Soit (e_1) une famille libre. Comme e_1\ne1, on peut poser \varepsilon_1 = \frac{1}{\| \left (e_1\right) \|} \varepsilon_1
Par construction, on a \| \left (e_1\right) \|=1, la famille (\varepsilon_1) est orthonormée.
\textbf{Hérédité :} Soit p\in\mathbb{N}^*, On suppose la propriété vraie au rang p, montrons qu’elle est vraie au rang p+1. Soit (e_1,...,e_p,e_{p+1}) une famille libre de E. La sous-famille (e_1,...,e_p) est une famille libre de E, (\varepsilon_1,...,\varepsilon_p) telle que

    \[$\forall i\in[\![1,p]\!]$, Vect$(e_1,...,e_i)=$Vect$(\varepsilon_1,...,\varepsilon_p)$.\]

    \[$\forall i\in[\![1,p]\!]$, Vect$(e_1,...,e_i)=$Vect$(\varepsilon_1,...,\varepsilon_p)$.\]

On cherche \varepsilon_{p+1} sous la forme

    \[$ \varepsilon_{p+1}=\lambda_1\varepsilon_1+...+\lambda_p\varepsilon_p+\lambda_{p+1} e_{p+1}\]

    \[$ \varepsilon_{p+1}=\lambda_1\varepsilon_1+...+\lambda_p\varepsilon_p+\lambda_{p+1} e_{p+1}\]


La famille (\varepsilon_1,...\varepsilon_p) est orthonormée, donc

    \[$\forall k\in[\![1,p]\!]$, \langle \varepsilon_{p+1},\varepsilon_k \rangle = \lambda_k+\lambda_{p+1}\langle e_{p+1},\varepsilon_k \rangle\]

    \[$\forall k\in[\![1,p]\!]$, \langle \varepsilon_{p+1},\varepsilon_k \rangle = \lambda_k+\lambda_{p+1}\langle e_{p+1},\varepsilon_k \rangle\]


Ainsi, la famille (\varepsilon_1,...\varepsilon_p,\varepsilon_{p+1}) est orthonormée si, et seulement si,

    \[$\forall k\in[\![1,p]\!],\lambda_k=-\lambda_{p+1}\langle e_{p+1},\varepsilon_k \rangle\]

    \[$\forall k\in[\![1,p]\!],\lambda_k=-\lambda_{p+1}\langle e_{p+1},\varepsilon_k \rangle\]


de sorte que si l’on pose

    \[$ \varepsilon_{p+1}=\lambda_{p+1}(e_{p+1}-\langle e{p+1},\varepsilon_1 \rangle \varepsilon_1 - ... - \langle \e{p+1},\varepsilon_p \rangle \varepsilon_p)\]

    \[$ \varepsilon_{p+1}=\lambda_{p+1}(e_{p+1}-\langle e{p+1},\varepsilon_1 \rangle \varepsilon_1 - ... - \langle \e{p+1},\varepsilon_p \rangle \varepsilon_p)\]


la famille (\varepsilon_1,...\varepsilon_p,\varepsilon_{p+1}) est orthogonale.
De plus, (e_1,...e_p,e_{p+1}) est libre, donc e_{p+1}\notin Vect(e_1,...e_p)
D’après l’hypothèse de récurrence, Vect(e_1,...e_p)=Vect(\varepsilon_1,...,\varepsilon_p), donc e_{p+1} \notin Vect(\varepsilon_1,...,\varepsilon_p).
Donc \| \left ( e_{p+1}-\langle \varepsilon_{p+1},\varepsilon_1 \rangle\varepsilon_1-...- \langle \varepsilon_{p+1},\varepsilon_p \rangle \varepsilon_p \right ) \|\ne 0
Ainsi, en posant \lambda_{p+1}=\frac{1}{\| \left ( e_{p+1}-\langle e_{p+1},\varepsilon_1 \rangle\varepsilon_1-...- \langle e_{p+1},\varepsilon_p \rangle \varepsilon_p \right ) \|} , la famille (\varepsilon_1,...\varepsilon_p,\varepsilon_{p+1}) est orthonormée. De plus, par construction

    \[$\varepsilon_{p+1}=\underbrace{\lambda_{p+1}}_{\ne 0} e_{p+1} + \underbrace{\lambda_{p}e_p+...+\lambda_{1}e_1}_{\in Vect(e_1,...,e_p)=Vect(\varepsilon_1,...,\varepsilon_p)\]

    \[$\varepsilon_{p+1}=\underbrace{\lambda_{p+1}}_{\ne 0} e_{p+1} + \underbrace{\lambda_{p}e_p+...+\lambda_{1}e_1}_{\in Vect(e_1,...,e_p)=Vect(\varepsilon_1,...,\varepsilon_p)\]


Ainsi, on a bien Vect(e_1,...,e_p,e_{p+1})=Vect(\varepsilon_1,...,\varepsilon_p,\varepsilon_{p+1})

💡 Conseils méthodologiques

Le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt, bien que pas toujours facile à mettre en œuvre, doit être parfaitement maîtrisé, au moins sur des exemples simples.

\mathbb{R}^3 est muni de son produit scalaire usuel. Soit F=Vect((1,2,0),(1,1,3)). On cherche une base orthonormée de F . La famille ((1, 2, 0) , (1, 1, 3)) est une famille libre de F , on lui applique le procédé de Gram- Schmidt.
On pose e_1=\frac{1}{\| \left ( 1,2,0 \right ) \|}(1,2,0)=\frac{1}{\sqrt{5}}(1,2,0).
On cherche \~e_2 sous la forme (1,1,3)+ae_1 avec a\in \mathbb{R}. On veut \langle \~e_2, e_1 \rangle=0.
Or, \langle \~e_2, e_1 \rangle=\langle (1,1,3),e_1 \rangle +a\langle \~e_2, e_1 \rangle=\langle (1,1,3),e_1 \rangle +a car \langle e_1, e_1 \rangle=||e_1||^2=1.
On a donc a=-\langle (1,1,3),e_1 \rangle=-\frac{1}{\sqrt{5}} \langle (1,1,3),(1,2,0) \rangle = -\frac{3}{\sqrt{5}}.
Ce qui donne \~e_2=(1,1,3)-\frac{3}{\sqrt{5}}x\frac{1}{\sqrt{5}}(1,2,0)=\frac{1}{5}(2,-1,15).
On pose e_2=\frac{1}{\| \left ( \~e_2 \right ) \|}\~e_2
Comme \~e_2=\sqrt{\frac{46}{5}}, on en déduit finalement que e_2=\frac{1}{\sqrt{230}}(2,-1,15).
Ainsi, F=Vect(e_1,e_2) et la famille (e_1,e_2) est libre. Donc la famille (e_1,e_2) est une base orthonormée de F .

Corollaire : Existence de bases orthonormées dans le cas euclidien

Tout espace euclidien admet des bases orthonormées

Démonstration :

Soit (f_1,...,f_n) une base de E. On applique le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt à cette famille libre.
On note (e_1,...,e_n) la famille obtenue. Par construction, elle est orthonormale, donc libre. De plus,

    \[$Vect(e_1,...,e_n)=Vect(f_1,...,f_n)=E,\]

    \[$Vect(e_1,...,e_n)=Vect(f_1,...,f_n)=E,\]


Donc (e_1,...,e_n) est génératrice : c’est une base orthonormée de E.

Corollaire :

Toute famille orthonormée d’un espace euclidien peut être complétée en une base orthonormée de E.

Démonstration :

Soit (e_1,...,e_r) une famille orthonormée d’un espace euclidien E. Cette famille étant libre, on la complète en une base de E, disons (e_1,...,e_r,e^*_{r+1},...,e^*_n) . On applique le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt. On notera que le procédé ne change pas les vecteurs e_1,...,e_r car la famille (e_1,...,e_r) est orthonormée. La famille (e_1,...,e_r ,e_{r+1},...,e_n) obtenue est une base orthonormée de E .

☝️ Proposition : Expression du produit scalaire dans une base orthonormée

Soit E un espace euclidien dont on note (e_1,...,e_n) une base orthonormée.
Pour tout (x=\sum_{i=1}^n x_{i}e_{i}, y=\sum_{i=1}^n y_{i}e_{i}) \in ExE, on a \langle (x,y) \rangle =\sum_{i=1}^n x_{i}y_{i} et ||x||^2= \sum_{i=1}^n x^2_i.

Remarque :

Cette proposition assure que dans une base orthonormée le calcul du produit scalaire et de la norme se fait comme dans \mathbb{R}^n muni de son produit scalaire usuel.
livre maths mpsi vuibert

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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