Définition et démonstration : matrice d’une application linéaire

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 30/04/2022
matrice d'une application linéaire

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Application linéaire canoniquement associée à une matrice

Définitions

Définition : Application linéaire canoniquement associé à une matrice

Soit A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}). L’application linéaire de \mathbb{K}^p dans \mathbb{K}^n dont la matrice dans les bases canoniques respectives de \mathbb{K}^p et \mathbb{K}^n est A est appelée application linéaire canoniquement associée à A.

Remarque : Matrice d’une application linéaire

Soit A=(a_{i,j})_{\substack{1\leq i\leq n\\ 1 \leq j \leq p}}\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}). L’application linéaire canoniquement associée à A est :

    \[f : \begin{array}[t]{ccc} \mathbb{K}^p & \to & \mathbb{K}^n\\ (x_1,\dots,x_p) & \mapsto & \left(\underbrace{\sum\limits_{j=1}^pa_{1,j} x_j}_{y_1},\dots,\underbrace{\sum\limits_{j=1}^pa_{n,j} x_j}_{y_n}\right). \end{array}\]

De plus, pour simplifier les notations, on identifie tout vecteur de \mathbb{K}^p (resp. de \mathbb{K}^n) à sa matrice des coordonnées dans la base canonique de \mathbb{K}^p (resp. de \mathbb{K}^n).
On identifie (x_1,\dots,x_p)\in\mathbb{K}^p à X=\begin{pmatrix} x_1\\\vdots\\x_p\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{K}), et (y_1,\dots,y_n)\in\mathbb{K}^n à Y=\begin{pmatrix} y_1\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}\in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K}). Avec cette identification, l’application linéaire canoniquement associée à A se réécrit :

    \[f : \begin{array}[t]{ccc} \mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{K}) & \to & \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})\\ X & \mapsto & A X (=Y). \end{array}\]

Définition : Noyau et image d’une matrice

Soient A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) et f:\mathbb{K}^p\to\mathbb{K}^n l’application linéaire canoniquement associée à A.
  • Le noyau de A est le noyau de f (c’est un sous-espace vectoriel de \mathbb{K}^p).
  • L’image de A est l’image de f (c’est un sous-espace vectoriel de \mathbb{K}^n).
  • Remarques

    On note A=(a_{i,j})_{\substack{1\leq i\leq n\\1\leq j\leq p}}\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}).
  • Soit (x_1,\dots,x_p)\in\mathbb{K}^p. On a :

        \[(x_1,\dots,x_p) \in \mathrm{Ker}(A)  \Longleftrightarrow  A \begin{pmatrix} x_1\\\vdots\\x_p \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\\vdots\\0 \end{pmatrix} 	 \Longleftrightarrow  	 	\left\lbrace 		\begin{array}{cccccccc} 		a_{1,1} x_1 &+& \dots &+& a_{1,p} x_p&=&0\phantom{.}\\ 		\vdots&&&&\vdots&&\vdots\\ 		a_{n,1} x_1 &+& \dots &+& a_{n,p} x_p&=&0.\\ 		\end{array}\right.\]

    Les lignes de A donnent un système d’équations linéaires du noyau de A.
  • On note \mathcal{B}=(e_1,\dots,e_p) la base canonique de \mathbb{K}^p.
    Pour tout j\in [[1,p]], en identifiant \mathbb{K}^p à \mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{K}), on a A\times e_j= \begin{pmatrix} a_{1,j}\\\vdots\\ a_{n,j} \end{pmatrix}. Autrement dit, A\times e_j est la j-ème colonne C_j de A.
    On a alors : \mathrm{Im}(A)=\mathrm{Vect}(A\times e_1,\dots,A\times e_p)=\mathrm{Vect}(C_1,\dots,C_p). Autrement dit, l’image de A est engendrée par les colonnes de A.
  • Définition : Rang d’une matrice

    Remarque

    Soient A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) et f:\mathbb{K}^p\to\mathbb{K}^n l’application linéaire canoniquement associée à A.
    Les espaces vectoriels \mathbb{K}^p et \mathbb{K}^n sont de dimensions finies, donc f est de rang fini et on sait que \mathrm{rg}(f) \leq \min\big(\mathrm{dim}(\mathbb{K}^n),\mathrm{dim}(\mathbb{K}^p)\big).
    Donc, par définition du rang de A, \mathrm{rg}(A) \leq \min(n,p).

    Théorème

    Soit A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K}) une matrice carrée. On note f:\mathbb{K}^n\to\mathbb{K}^n l’endomorphisme canoniquement associé à A.
    On a l’équivalence : A est inversible si, et seulement si, f est un automorphisme. Par conséquent, on a :

        \[$A$ ~ est ~ inversible \quad \Longleftrightarrow \quad \mathrm{Ker}(A)=\big\{(0,\dots,0)\big\} \quad \Longleftrightarrow \quad \mathrm{Im}(A)=\mathbb{K}^n \quad \Longleftrightarrow \quad \mathrm{rg}(A)=n.\]

    Démonstration

    Comme A est carrée d’ordre n, on sait que f est un endomorphisme de \mathbb{K}^n. De plus, sa matrice dans la base canonique de \mathbb{K}^n est A.
    Par théorème, A est inversible si, et seulement si, f est un automorphisme.
    De plus, comme f est un endomorphisme et \mathbb{K}^n est de dimension finie, on sait que

        \[$f$ ~ est ~ automorphisme \quad \Longleftrightarrow \quad $f$ ~ est ~injectif \quad \Longleftrightarrow \quad $f$~ est ~ surjectif.\]

    D’où,

        \[$f$~est~automorphisme \quad \Longleftrightarrow \quad \mathrm{Ker}(f)=\big\{(0,\dots,0)\big\} \quad \Longleftrightarrow \quad \mathrm{Im}(f)=\mathbb{K}^n.\]

    De plus, \mathrm{Im}(f)\subset\mathbb{K}^n et \mathrm{rg}(f)=\mathrm{dim}\big(\mathrm{Im}(f)\big). Donc, \mathrm{Im}(f)=\mathbb{K}^n si, et seulement si, \mathrm{rg}(f)=n.
    D’où, par définition du noyau, de l’image et du rang d’une matrice,

        \[$A$~est~inversible \quad \Longleftrightarrow \quad \mathrm{Ker}(A)=\big\{(0,\dots,0)\big\} \quad \Longleftrightarrow \quad \mathrm{Im}(A)=\mathbb{K}^n \quad \Longleftrightarrow \quad \mathrm{rg}(A)=n.\]

    Remarque

    Soit T=(t_{i,j})_{1\leq i,j\leq n} une matrice triangulaire supérieure.
    Le vecteur (x_1,\dots,x_n) appartient au noyau de T si, et seulement si, (x_1,\dots,x_n) est solution du système homogène

        \[\left\lbrace\begin{array}{rcl} t_{1,1}x_1+t_{1,2}x_2+\dots +t_{2,n}x_n&=&0\\ t_{2,2}x_2+\dots +t_{1,n}x_n&=&0\\ \vdots\\ t_{n,n}x_n&=&0 \end{array}\right.\]

    Si tous les coefficients t_{1,1}, … , t_{n,n} sont non nuls, alors en résolvant le système (en partant de la dernière ligne), on trouve x_n=x_{n-1}=\dots=x_1=0. Donc, \mathrm{Ker}(T)=\big\{(0,\dots,0)\big\}. Donc, T est inversible.
    Supposons que les coefficients t_{1,1}, … , t_{n,n} ne soient pas tous non nuls. On peut alors considérer le plus petit entier i de [[1,n]] tel que t_{i,i}=0. On pose alors le vecteur (u_1,\dots,u_n) où :
  • pour tout j\in [[i+1,n\rrbracket]], u_{j}=0;
  • u_i=1;
  • on définit récursivement :
  • Le vecteur (u_1,\dots,u_n) est non nul et appartient à \mathrm{Ker}(T). Donc, T n’est pas inversible. On retrouve que T est inversible si, et seulement si, ses coefficients diagonaux sont non nuls.
    En transposant, on obtient un résultat similaire pour les matrices triangulaires inférieures.

    Théorème

    Soit A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}). On a :

        \[p = \mathrm{rg}(A) + \mathrm{dim}(\mathrm{Ker}(A)).\]

    Démonstration

    Soit f:\mathbb{K}^p\to\mathbb{K}^n l’application linéaire canoniquement associée à A. Comme \mathbb{K}^p est de dimension finie, on peut appliquer le théorème du rang à l’application linéaire f :

        \[\mathrm{dim}(\mathbb{K}^p)=\mathrm{rg}(f) + \mathrm{dim}(\mathrm{Ker}(f)).\]

    Or, \mathrm{dim}(\mathbb{K}^p)=p et, par définition \mathrm{Ker}(f)=\mathrm{Ker}(A), \mathrm{rg}(f)=\mathrm{rg}(A). Donc,

        \[p = \mathrm{rg}(A) + \mathrm{dim}(\mathrm{Ker}(A)).\]

    Proposition

    On ne modifie pas le rang d’une matrice en la multipliant à droite ou à gauche par une matrice inversible.

    Démonstration

    Soient A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) et Q\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{K}). On considère f:\mathbb{K}^p\to\mathbb{K}^n (respectivement g:\mathbb{K}^n\to\mathbb{K}^n) l’application linéaire canoniquement associée à A (respectivement Q). Par opération, g\circ f:\mathbb{K}^p\to\mathbb{K}^n est l’application linéaire canoniquement associée à Q A. D’où, \mathrm{Im}(g\circ f) = \mathrm{Im}(Q A).
    De plus, Q est inversible, donc g est un automorphisme. Or, on ne change pas le rang d’une application linéaire en composant à gauche par un isomorphisme. Donc, \mathrm{rg}(Q A) = \mathrm{rg}(g\circ f) =  \mathrm{rg}(f) = \mathrm{rg}(A).
    On traite de la même manière la multiplication à droite par une matrice inversible.

    Corollaire

    Soient A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}), P\in\mathrm{GL}_p(\mathbb{K}) et Q\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{K}). Alors,

        \[\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(Q A P).\]

    Démonstration

    D’après la proposition précédentes, comme les matrices P et Q sont inversibles :

        \[\mathrm{rg}(Q A P)=\mathrm{rg}(Q A)=\mathrm{rg}(A).\]

    Théorème

    Soit A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K}).
  • S’il existe B\in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) tel que A B= I_n, alors A est inversible et A^{-1}=B.
  • S’il existe B\in \mathcal{M}_n(\K) tel que B A= I_n, alors A est inversible et A^{-1}=B.
  • Démonstration

    On suppose qu’il existe B\in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) tel que A B= I_n.
    On considère f:\mathbb{K}^n\to\mathbb{K}^n (respectivement g:\mathbb{K}^n\to\mathbb{K}^n) l’application linéaire canoniquement associée à A (respectivement B). Par opération, f\circ g:\mathbb{K}^n\to\mathbb{K}^n est l’application linéaire canoniquement associée à A B. Comme A B=I_n, on a f\circ g=\mathrm{Id}_{\mathbb{K}^n}.
    Or, f est un endomorphisme et \mathbb{K}^n est de dimension finie. Donc, par théorème f est un automorphisme et f^{-1}=g. Donc, A est inversible et A^{-1}=B.
    L’autre cas se traite de la même manière.

    Proposition

    Soit (A,B)\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\times \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K}). On a :

        \[\mathrm{rg}(AB)\leq \min\big(\mathrm{rg}(A),\mathrm{rg}(B)\big).\]

    Démonstration

    On considère f:\mathbb{K}^p\to\mathbb{K}^n (respectivement g:\mathbb{K}^q\to\mathbb{K}^p) l’application linéaire canoniquement associée à A (respectivement B). Par opération, f\circ g:\mathbb{K}^q\to\mathbb{K}^n est l’application linéaire canoniquement associée à A B.
    Or, en dimension finie, \mathrm{rg}(f\circ g)\leq \min\big(\mathrm{rg}(f),\mathrm{rg}(g)\big).
    Donc, par définition du rang d’une matrice \mathrm{rg}(AB)\leq \min\big(\mathrm{rg}(A),\mathrm{rg}(B)\big).
    livre maths mpsi vuibert

    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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