Définition et démonstration : matrice d’une application linéaire

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 30/04/2022
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Tu souhaites en savoir plus sur la notion de matrice d’une application linéaire ? Améliore tes connaissances sur cette notion grâce à notre article dédié au chapitre : Définition et démonstration : matrice d’une application linéaire. Prochaine étape : réussis toutes tes interrogations écrites et orales sur la notion !

Application linéaire canoniquement associée à une matrice

Définitions

Définition : Application linéaire canoniquement associé à une matrice

Soit A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}). L’application linéaire de \mathbb{K}^p dans \mathbb{K}^n dont la matrice dans les bases canoniques respectives de \mathbb{K}^p et \mathbb{K}^n est A est appelée application linéaire canoniquement associée à A.

Remarque : Matrice d’une application linéaire

Soit A=(a_{i,j})_{\substack{1\leq i\leq n\\ 1 \leq j \leq p}}\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}). L’application linéaire canoniquement associée à A est :

    \[f : \begin{array}[t]{ccc} \mathbb{K}^p & \to & \mathbb{K}^n\\ (x_1,\dots,x_p) & \mapsto & \left(\underbrace{\sum\limits_{j=1}^pa_{1,j} x_j}_{y_1},\dots,\underbrace{\sum\limits_{j=1}^pa_{n,j} x_j}_{y_n}\right). \end{array}\]

    \[f : \begin{array}[t]{ccc} \mathbb{K}^p & \to & \mathbb{K}^n\\ (x_1,\dots,x_p) & \mapsto & \left(\underbrace{\sum\limits_{j=1}^pa_{1,j} x_j}_{y_1},\dots,\underbrace{\sum\limits_{j=1}^pa_{n,j} x_j}_{y_n}\right). \end{array}\]

De plus, pour simplifier les notations, on identifie tout vecteur de \mathbb{K}^p (resp. de \mathbb{K}^n) à sa matrice des coordonnées dans la base canonique de \mathbb{K}^p (resp. de \mathbb{K}^n).
On identifie (x_1,\dots,x_p)\in\mathbb{K}^p à X=\begin{pmatrix} x_1\\\vdots\\x_p\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{K}), et (y_1,\dots,y_n)\in\mathbb{K}^n à Y=\begin{pmatrix} y_1\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}\in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K}). Avec cette identification, l’application linéaire canoniquement associée à A se réécrit :

    \[f : \begin{array}[t]{ccc} \mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{K}) & \to & \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})\\ X & \mapsto & A X (=Y). \end{array}\]

    \[f : \begin{array}[t]{ccc} \mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{K}) & \to & \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})\\ X & \mapsto & A X (=Y). \end{array}\]

Définition : Noyau et image d’une matrice

Soient A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) et f:\mathbb{K}^p\to\mathbb{K}^n l’application linéaire canoniquement associée à A.
  • Le noyau de A est le noyau de f (c’est un sous-espace vectoriel de \mathbb{K}^p
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