Qu’est-ce qu’une application linéaire ?

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 02/06/2022
application linéaire

Tu te demandes ce qu’est une application linéaire ? Quelle est sa définition, et comment montrer qu’une application est linéaire ? Après avoir lu ce cours consacré à l’application linéaire, tu auras la réponse à toutes ces questions. À toi le 20 sur 20 à la prochaine interro de maths !

Dans ce chapitre, E , F et G désignent trois \mathbb{K}-espace vectoriel.

📍Définition : Application linéaire

Soit f : E \rightarrow F une application. On dit que f est linéaire lorsque :
(i) \forall (u,v) \in E^2, f(u + v) = f(u) + f(v)
(ii) \forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall u \in E, f(\lambda.u) = \lambda.f(u).
On note \mathcal{L}(E,F) l’ensemble des applications linéaires de E dans F.

Remarques :

  • Une application f de E dans F est linéaire si, et seulement si,

        \[    $\forall \lambda \in \mathbb{K}$, $\forall (u,v) \in E^2$, $f(\lambda.u+v) = \lambda.f(u) + f(v)$. \]

    C’est cette caractérisation qui est utilisée en pratique pour montrer qu’une application est linéaire.
  • On montre par récurrence sur p \in \mathbb{N}^* que, pour tout (\lambda_1,...,\lambda_p) \in \mathbb{K}^p et pour tout (u_1,...,u_p) \in E^p, on a :
  •     \[f(\sum_{k=1}^p \lambda_k.u_k) = \sum_{k=1}^p \lambda_k.f(u_k)$.\]

    Exemple :

    L’application \begin{array}{rcl} \text{Id}_E : E&\to& E\\  x &\mapsto &x \end{array} est linéaire.
    Plus généralement, pour tout \lambda \in \mathbb{K}, l’application \lambda.\text{Id}_E est linéaire.

    Remarques :

    Soit f une application linéaire de E dans F.
  • On a : f(0_E) = 0_F. En effet :

        \[f(0_E) = f(0_E + 0_E) = f(0_E) + f(0_E) .\]

    En ajoutant -f(0_E) à chaque membre de l’égalité, on a f(0_E) = 0_F.
  • En particulier, si f(0_E) \ne 0_F, alors f n’est pas linéaire.
  • On a : pour tout x \in E, f(-x) = -f(x). En effet, il suffit de prendre \lambda = -1, u = x et v = 0_E dans la définition d’application linéaire.
  • 💡 Conseils méthodologiques : Montrer qu’une application est linéaire

    Pour montrer qu’une application f : E \to F est linéaire, on fixe \lambda \in \mathbb{K} et (u,v) \in E^2 et on montre que f(\lambda.u+v) = \lambda.f(u) + f(v) en utilisant la définition de f.

    Exemple :

    L’application \begin{array}{rcl} \text{Id}_E : E&\to& E\\  x &\mapsto &x \end{array} est linéaire. \varphi : \mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R}) \to \mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R}) est une application linéaire. En effet : Soient (f,g) \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R}) \times \mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R}) et \lambda \in \mathbb{R}. On a :

        \[\varphi(\lambda.f+g) = (\lambda.f+g)' = \lambda.f' + g' = \lambda.\varphi(f) + \varphi(g).\]

    \varphi est une application linéaire.
    livre maths mpsi vuibert

    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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