Application linéaire : exercice corrigé

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 25/05/2022
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Tu es en galère sur un exercice d’application linéaire ? Pas de stress ! Grâce à cet article dédié à la notion : Application linéaire : exercice corrigé, ce chapitre n’aura désormais plus aucun secret pour toi ! À toi les bonnes notes pour tes prochaines interrogations écrites et orales sur cette notion !

Exercice : Application linéaire

⏰ Durée : 15 min

💪 Difficulté : niveau 1/3

Dans \mathbb{R}^3, on considère F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3,\;x+y=0\} et G=\mathrm{Vect}((1,0,1)).
1. Interpréter géométriquement les ensembles F et G.
2. Montrer que \mathbb{R}^3=F\oplus G.
3. On considère p la projection sur F parallèlement à G. Pour tout (x,y,z)\in\mathbb{R}^3, déterminer l’expression de p(x,y,z).
4. On considère q la projection sur G parallèlement à F. Pour tout (x,y,z)\in\mathbb{R}^3, déterminer l’expression de q(x,y,z).
5. On considère s la symétrie par rapport à F parallèlement à G. Pour tout (x,y,z)\in\mathbb{R}^3, déterminer l’expression de s(x,y,z).

Corrigé de l’exercice : Application linéaire

1. Une base de G est \big((1,0,1)\big). Donc, \mathrm{dim}(G)=1 et G est une droite vectorielle.
De plus, (x,y,z)\in F si, et seulement si, (x,y,z)=x.(1,-1,0)+z.(0,0,1).
Donc, F=\mathrm{Vect}\big((1,-1,0),(0,0,1)\big). Les vecteurs (1,-1,0) et (0,0,1) sont non colinéaires, donc
\big((1,-1,0),(0,0,1)\big) est une base de F et \mathrm{dim}(F)=2 et F est un plan vectoriel.
2. D’après la question précédente, \mathrm{dim}(\mathbb{R}^3)=3=2+1=\mathrm{dim}(F)+\mathrm{dim}(G).
Soit (x,y,z)\in F\cap G. Par définition de G, il existe \lambda\in\mathbb{R} tel que (x,y,z)=(\lambda,0,\lambda). Puis, par définition de F, z=0. Donc, \lambda=0, puis, (x,y,z)=(0,0,0).
On en déduit que F\cap G=\{(0,0,0)\} et \mathbb{R}^3=F\oplus G.
3. Soit (x,y,z)\in\mathbb{R}^3.
D’après la question précédente, il existe (a,b,c)\in F et \lambda \in \mathbb{R} tel que (x,y,z)=(a,b,c)+(\lambda,0,\lambda)\in G.
Par définition de p, p(x,y,z)=(a,b,c).
Or, on a :

    \[\left\lbrace\begin{array}{rcl} a+\lambda&=&x\\ b&=&y\\ c+\lambda&=&z\\ a+b&=&0 \end{array}\right. \quad \Longleftrightarrow \quad \left\lbrace\begin{array}{rcl} \lambda&=&x+y\\ b&=&y\\ c&=&-x-y+z\\ a&=&-y \end{array}\right.\]

    \[\left\lbrace\begin{array}{rcl} a+\lambda&=&x\\ b&=&y\\ c+\lambda&=&z\\ a+b&=&0 \end{array}\right. \quad \Longleftrightarrow \quad \left\lbrace\begin{array}{rcl} \lambda&=&x+y\\ b&=&y\\ c&=&-x-y+z\\ a&=&-y \end{array}\right.\]


Donc, p(x,y,z)=(-y,y,-x-y+z)
4. D’après la question précédente, pour tout (x,y,z)\in\mathbb{R}^3, q(x,y,z)=(x+y,0,x+y).
5. On a, pour tout (x,y,z)\in\mathbb{R}^3, s(x,y,z)=2\,p(x,y,z)-(x,y,z)=(-x-2\,y,y,-2\,x-2\,y+z).
livre maths mpsi vuibert

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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