Tout savoir sur le système linéaire

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 10/05/2022
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Vous avez du mal avec la notion de système linéaire ? Pas d’inquiétude ! Grâce à ce cours dédié à la notion de système linéaire, familiarisez-vous davantage avec des méthodologies bien structurées qui vous permettront de décrocher de bonnes notes à vos prochaines interrogations orales et écrites !

Systèmes linéaires

Proposition

L’ensemble des solutions d’un système linéaire homogène à n équations et p inconnues est le noyau de la matrice des coefficients du système.

Démonstration

On considère le système linéaire homogène à n équations et p inconnues :

    \[(\mathcal{S})\, \left\lbrace 		\begin{array}{cccccccc} 		a_{1,1} x_1 &+& \dots &+& a_{1,p} x_p&=&0\phantom{.}\\ 		\vdots&&&&\vdots&&\vdots\\ 		a_{n,1} x_1 &+& \dots &+& a_{n,p} x_p&=&0.\\ 		\end{array}\right.\]

    \[(\mathcal{S})\, \left\lbrace 		\begin{array}{cccccccc} 		a_{1,1} x_1 &+& \dots &+& a_{1,p} x_p&=&0\phantom{.}\\ 		\vdots&&&&\vdots&&\vdots\\ 		a_{n,1} x_1 &+& \dots &+& a_{n,p} x_p&=&0.\\ 		\end{array}\right.\]

On note A=(a_{i,j})_{\substack{1\leq i\leq n\\ 1\leq j\leq p}} la matrice associée au système. Par définition, (x_1,\dots,x_p) est solution de (\mathcal{S}) si, et seulement si, A \begin{pmatrix} x_1\\\vdots\\x_p \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\\vdots\\0 \end{pmatrix}. Autrement dit, l’ensemble des solutions de (\mathcal{S}) est \mathrm{Ker}(A).

Définition : Rang d’un système

Le rang d’un système linéaire homogène est le rang de la matrice de ses coefficients.

Proposition

La dimension de l’ensemble des solutions d’un système linéaire homogène à n équations et p inconnues de rang r est égal à p-r.

Démonstration

On note A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) la matrice des coefficients du systèmes. On sait que \mathrm{dim}(\mathrm{Ker}(A))=p-\mathrm{rg}(A).
Or, \mathrm{Ker}(A) est l’ensemble des solutions du système.

Proposition

On considère un système linéaire dont l’écriture matricielle est A\times X=BA\in\mathcal{M}_{n,p}(\)mathbb{K}, X\in\mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{K}) et B\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K}).
Le système A X=B est compatible si, et seulement si B\in\mathrm{Im}(A).

Démonstration

Conséquence immédiate de la définition de \mathrm{Im}(A).

Remarque : Structure affine de l’ensemble des solutions d’un système linéaire

Soit A\times X=B un système compatible. On note X_0 une solution particulière du système.
Un vecteur X est solution du système si, et seulement si, AX=B.
Or, AX_0=B. Donc, X est solution du système si, et seulement si, X-X_0\in\mathrm{Ker}(A).
On en déduit que l’ensemble des solutions du système est le sous-espace affine de \K^p dirigé par \mathrm{Ker}(A) et passant pas X_0.
livre maths mpsi vuibert

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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