Fiche de cours : définition de l’isomorphisme

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 08/07/2022
isomorphisme

Qu’est-ce qu’un isomorphisme ? Un mot compliqué mais une notion assez simple en réalité. On te donne la définition de l’isomorphisme juste ici ! Tu trouveras aussi toutes les propositions du cours accompagnées de leur démonstration. Deviens incollable sur la notion d’isomorphisme !

Définition de l’isomorphisme et propositions

📍 Définition : Isomorphisme

Soit f : E \to F une application de E dans F. On dit que f est un isomorphisme de E sur F lorsque f est linéaire et est une bijection de E sur F.

☝️ Proposition :

Soit f un isomorphisme de E sur F. Alors, sa bijection réciproque f^{-1} est une application linéaire.
C’est donc un isomorphisme de F sur E.

Démonstration :

Soit (y_1,y_2) \in F \times F et \lambda \in \mathbb{K}. Par bijectivité de f, il existe (x_1,x_2) \in E \times E tel que y_1 = f(x_1) et y_2 = f(x_2). Par linéarité de f, on a : \lambda.y_1 + y_2 = f(\lambda.x_1 +x_2).
D’où, par bijectivité de f, f^{-1}(\lambda.y_1+y_2) = \lambda.x_1 + x_2. On a aussi x_1 = f^{-1}(y_1) et x_2 = f^{-1}(y_2). Donc,

    \[f^{-1}(\lambda.y_1+y_2) = \lambda. f^{-1}(y_1) + f^{-1}(y_2) .\]

Ainsi, f^{-1} est linéaire.

📍 Définition : Espaces vectoriels isomorphes

On dit que deux espaces vectoriels E et F sont isomorphes lorsqu’il existe un isomorphisme de E sur F.

☝️ Proposition :

Soit f \in \mathcal{L}(E,F).
L’application linéaire f est un isomorphisme si, et seulement si, il existe une application g \in \mathcal{F}(F,E) telle que g \circ f = \text{Id}_E et f \circ g = \text{Id}_F. Dans ce cas, g = f^{-1} et g est linéaire.

Démonstration :

Le sens direct est immédiat.
Réciproquement, si g \circ f = \text{Id}_E, alors f est injective (revenir à la définition d’injection) si et f \circ g = \text{Id}_F alors f est surjective (revenir à la définition de surjection).
La linéarité de g vient de la proposition précédente.

Remarque :

La bijection réciproque d’un isomorphisme est linéaire, on en déduit que la définition d’espaces vectoriels isomorphes peut aussi s’énoncer sous la forme : on dit que deux espaces vectoriels E et F sont isomorphes lorsqu’il existe un isomorphisme de F sur E .

☝️ Proposition :

Soit f \in \mathcal{L}(E,F) et g \in \mathcal{L}(F,G). Si f et g sont des isomorphismes, alors g \circ f est un isomorphisme de E sur G et :

    \[  $(g \circ f )^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$. \]

Démonstration :

On a :

    \[    $f^{-1}\;\circ\;g^{-1}\;\circ\;g\;\circ\;f = f^{-1}\;\circ\;\text{Id}_F\;\circ\;f = f^{-1}\;\circ\;f = \text{Id}_E$ \]

et

    \[ $g\;\circ\;f\;\circ\;f^{-1}\;\circ\;g^{-1} = g\;\circ\;\text{Id}_F\;\circ\;g^{-1} = g\;\circ\;g^{-1} = \text{Id}_G$ \]

Ainsi, g\;\circ\;f est une bijection de E sur G et (g\;\circ\;f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}.
Par la proposition précédente, f^{-1} et g^{-1} sont linéaires. Donc la composée f^{-1} \circ g^{-1} est linéaire.

💡 Conseils méthodologiques : Montrer qu’une application est un isomorphisme

Pour montrer qu’une application f : E \to F est un isomorphisme de E sur F, on peut :
  • Montrer que f est linéaire, injective sur E et surjective de E sur F.
  • Montrer que f est linéaire et déterminer g \in \mathcal{F}(F,E) telle que g\;\circ\;f = \text{Id}_E et f\;\circ\;g = \text{Id}_F.
  • Exemple :

    Considérons les applications linéaires :

    \begin{array}{ccccc} f & : & \mathbb{C}[X] & \to & \mathbb{C}[X] \\  & & P(X) & \mapsto & P(X+1) \\ \end{array}\qquad \text{et}\qquad \begin{array}{ccccc} g & : & \mathbb{C}[X] & \to & \mathbb{C}[X] \\  & & P(X) & \mapsto & P(X-1) \\ \end{array}

    On vérifie facilement que g\;\circ\;f = \text{Id}_{\mathbb{C}[X]} et f\;\circ\;g = \text{Id}_{\mathbb{C}[X]}. Donc f est un isomorphisme de \mathbb{C}[X] sur \mathbb{C}[X].
    livre maths mpsi vuibert

    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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