Matrice et application linéaire exercice corrigé

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Exercice : Matrice et application linéaire

Soit

$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \\ \end{pmatrix}$

$\in \mathcal{M}_2(\mathbb{K})$ . On considère $f:\begin{array}[t]{rcl} \mathcal{M}_2(\mathbb{K}) & \to & \mathcal{M}_2(\mathbb{K})\\ M & \mapsto & A M \end{array}$

$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \\ \end{pmatrix}$

Montrer que $f \in \mathcal{L}\big(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\big)$

Déterminer la matrice de $f$ dans la base canonique $\mathcal{B}=\big(E_{1,1},E_{2,1},E_{1,2},E_{2,2}\big)$ de $\mathcal{M}_2(\mathbb{K})$

Déterminer la trace de $f$

Corrigé de l’exercice

\begin{enumerate}

Soient $(M,N)\in \mathcal{M}_2(\mathbb{K})\times \mathcal{M}_2(\mathbb{K})$ et $\lambda \in\mathbb{K}$

. On a :

$f(\lambda.M+N)=A\times(\lambda.M+N)=\lambda.A M+ A N=\lambda.f(M)+f(N).$

Donc, $f$ est linéaire. De plus, le produit de matrices de $\mathcal{M}_2(\mathbb{K})$ appartient à $\mathcal{M}_2(\mathbb{K})$

.
Donc, $f \in \mathcal{L}\big(\mathcal{M}_2(\mathbb{K})\big)$

On a :

$f(E_{1,1})=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

$f(E_{2,1})=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

$f(E_{1,2})=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

$f(E_{2,2})=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Donc,

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ \end{pmatrix}$

On a $\tr(f)=\tr(A)=4$

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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