Matrice et application linéaire exercice corrigé

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 08/07/2022
matrice et application linéaire exercice corrigé

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Exercice : Matrice et application linéaire

Soit

    \[A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \\ \end{pmatrix}\]

\in \mathcal{M}_2(\mathbb{K}). On considère f:\begin{array}[t]{rcl} \mathcal{M}_2(\mathbb{K}) & \to & \mathcal{M}_2(\mathbb{K})\\  M & \mapsto & A M \end{array}
  • Montrer que f \in \mathcal{L}\big(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\big).
  • Déterminer la matrice de f dans la base canonique \mathcal{B}=\big(E_{1,1},E_{2,1},E_{1,2},E_{2,2}\big) de \mathcal{M}_2(\mathbb{K}).
  • Déterminer la trace de f.
  • Corrigé de l’exercice

    \begin{enumerate}
  • Soient (M,N)\in \mathcal{M}_2(\mathbb{K})\times \mathcal{M}_2(\mathbb{K}) et \lambda \in\mathbb{K}. On a :

        \[f(\lambda.M+N)=A\times(\lambda.M+N)=\lambda.A M+ A N=\lambda.f(M)+f(N).\]

  • Donc, f est linéaire. De plus, le produit de matrices de \mathcal{M}_2(\mathbb{K}) appartient à \mathcal{M}_2(\mathbb{K}).
    Donc, f \in \mathcal{L}\big(\mathcal{M}_2(\mathbb{K})\big).
  • On a :

        \[f(E_{1,1})=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\]

    ,

        \[f(E_{2,1})=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\]

    ,

        \[f(E_{1,2})=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\]

    et

        \[f(E_{2,2})=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]

    Donc,

        \[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1  & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ \end{pmatrix}\]

  • On a \tr(f)=\tr(A)=4.
  • livre maths mpsi vuibert

    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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