Comment déterminer la dimension d’un espace vectoriel ?

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 02/06/2022
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Tu te demandes comment déterminer la dimension d’un espace vectoriel ? Nous avons la réponse ! Voici la méthode qui te permettra de déterminer simplement et rapidement la dimension d’un espace vectoriel. Grâce aux Sherpas, obtiens 20 sur 20 à ta prochaine interro de maths !

💡 Conseils méthodologiques

Pour déterminer la dimension d’un espace vectoriel E, on détermine une famille B génératrice de E (ceci montre que E est de dimension finie), puis on vérifie que cette famille est libre. La famille B est alors une base de E et le nombre de vecteurs dans la famille est la dimension de E.

Application de la méthode : déterminer la dimension d’un espace vectoriel

On note E = \mathbb{R}^3. Déterminons la dimension de F = \{(x,y,z) \in E, x-y-z = 0\}.
Soit (x,y,z) \in E. On a (x,y,z) \in F si, et seulement si, (x,y,z) = (y+z, y, z) = y.(1,1,0) + z.(1,0,1).
Donc, F = Vect((1,1,0), (1,0,1)). En particulier, F est un sous-espace vectoriel de E.
Donc, la famille \mathcal{B} = ((1,1,0), (1,0,1)) engendre F qui est donc de dimension finie.
De plus, les vecteurs (1,1,0) et (1,0,1) ne sont pas colinéaires. Donc, la famille \mathcal{B} est libre.
Ainsi, \mathcal{B} est une base de F et dim(F) = 2.
livre maths mpsi vuibert

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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