Toi qui pensais que les mathématiques n’étaient que des calculs avec des chiffres et des nombres, désolé de te dire que ce n’est pas exactement le cas. Bienvenue dans le calcul littéral, c’est-à-dire le calcul avec des lettres, qui prend de plus en plus de place au collège jusqu’en 3e.
On va voir aujourd’hui que les lettres se tapent l’incruste dans tes cours de maths. Et oui, tu les utilises pour écrire ta meilleure rédaction de français d’habitude, mais là, elles vont se retrouver dans tes équations. C’était déjà bien assez compliqué avec des nombres, tu me diras 😡.
Allez, ne te décourage pas ! Dans cet article, tu vas voir à quoi sert le calcul littéral et comment réduire, développer et factoriser une expression, avec un exemple corrigé pour chaque règle. Prends ta calculatrice et suis les Sherpas là où une lettre peut se compter.
C’est quoi le calcul littéral ? 🔢🔠
Le calcul littéral, c’est le calcul avec des lettres. Une lettre (souvent x, a ou n) désigne un nombre qu’on ne connaît pas encore, ou bien n’importe quel nombre. On lui applique les mêmes règles qu’aux nombres pour réduire, développer ou factoriser une expression littérale, et pour résoudre une équation.
Le monde des mathématiques est vaste et complexe et pour cela, il a fallu que l’homme invente les chiffres, puis qu’il se dise que, finalement, ajouter une lettre dans un calcul et bah ce n’est pas si mal que ça. Et voilà comment sont nés l’expression littérale et le calcul littéral.
Définitions et origine ✒️
💡 Définition
Une expression littérale est une expression mathématique contenant une ou plusieurs lettres qui désignent des nombres.
Le « calcul littéral » signifie « calcul avec des lettres ». Cela englobe de nombreuses équations et inéquations.
L’algèbre a fait des progrès prodigieux grâce aux mathématiciens français François Viète (1540-1603) et Albert Girard (1595-1632) 🧑🔬.
Au lieu d’exprimer les solutions à des problèmes mathématiques en langage courant, ils utilisèrent dans un premier temps des chiffres. Jusque-là, ça ne semble pas si fou. Mais leur plus brillante idée a été d’utiliser des lettres pour désigner des valeurs données et des inconnues 👏.
Ainsi, un énoncé tel que : « Trouver un nombre dont le triple ajouté au nombre quatre vaut zéro » est devenu : « Résoudre 3x + 4 = 0 ». Un problème qui nécessitait jadis plusieurs pages se résout désormais en quelques lignes de calcul.
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Le penseur du calcul littéral 🔍
C’est entre 1571 et 1591 que François Viète (1540-1603) publie deux ouvrages, l’un sur la trigonométrie et l’autre sur l’algèbre (Canon mathematicus et In artem analyticem isagoge), qui représentent un grand pas en avant pour l’algèbre. Pour Viète, le calcul littéral a pour but clair de résoudre tous les problèmes. Les inconnues sont donc désignées par des voyelles et les grandeurs connues par des consonnes 🔡.
Sacré François ! Allez, voyons comment les calculs littéraux fonctionnent maintenant.
Calcul littéral : les règles et la formule de base ☄️
La formule de base du calcul littéral, c’est la distributivité : k(a + b) = ka + kb et k(a − b) = ka − kb. Lue de gauche à droite, elle sert à développer ; lue de droite à gauche, elle sert à factoriser. Deux règles d’écriture sont à retenir : 3x signifie 3 × x et x² signifie x × x.
Ne sois pas effrayé, on va t’expliquer au mieux pour que tu ressortes de cet article en ayant tout compris !
La distributivité 👉
On va détailler un peu plus cette formule : k × (a + b) = k × a + k × b ; soit k(a + b) = ka + kb. C’est le même principe pour la soustraction : k × (a – b) = k × a − k × b ; soit k(a – b) = ka – kb.
C’est bon, tu commences à saisir ?
C’est ce qu’on nomme la « distributivité », car en développant l’expression, on « distribue » le facteur k sur chaque terme de la parenthèse.
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Le développement 🙂
Développer signifie que l’on transforme une multiplication en une somme ou en une différence.
Dans les formules précédentes, on a transformé le produit de k par (a + b) (ou (a −b)) en une somme (ou une différence). Donc : k × (a + b) et k × (a − b), sont devenus : ka + kb et ka – kb.
💡Exemple
Développer l’expression 3(4x – 6).
D’après les formules de distributivité, on a : 3(4x – 6) = 3 × 4x – 3 × 6 = 12x – 18.
La factorisation 🤏
En revanche, factoriser signifie faire le chemin inverse : une somme ou une différence devient un produit. Si on reprend l’exemple de tout à l’heure, mais que l’on factorise au lieu de développer, on peut passer de « k × a + k × b ou k × a – k × b » aux formes factorisées que sont « k(a+b) et k(a-b) ».
La factorisation, comme tu peux le voir, transforme une somme en produit : elle consiste à repérer un facteur commun à tous les termes (ici k, commun à ka et à kb) et à le mettre devant les parenthèses.
💡 Exemples
Factorisons par x l’expression 5x + 8x.
5x + 8x = x(5 + 8) = 13x.
On va ajouter quelques lettres et on va maintenant réduire l’expression 4a + 3b − 8a + 6b, en regroupant les termes en a puis les termes en b.
4a + 3b – 8a + 6b = 4a – 8a + 3b + 6b = a(4 – 8) + b(3 + 6) = – 4a + 9b.
La double distributivité ‼️
La double distributivité porte bien son nom et signifie qu’il faut juste que tu distribues deux fois et pas une 👍.
On s’en sert pour les expressions du style : (a + b) (c + d) tel que a, b, c et d sont des nombres relatifs (positifs ou négatifs, entiers ou non). On distribue donc « a » sur « c » et « d » ; et « b » sur « c » et « d ». Autrement dit, on fait la multiplication de « a » par « c » puis par « d » et ensuite de « b » par « c » puis par « d ».
Ce qui nous amène à : (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd.
D’ailleurs, c’est pareil avec la soustraction : (a + b) (c – d) = a x c + a x (-d) + b x c + b x (-d) = ac – ad + bc – bd.
🚨 Petit rappel sur les nombres négatifs
Regarde bien ce développement !
(a – b) (c – d)
= a x c + a x (-d) + (-b) x c + (-b) x (-d)
= ac + (-ad) + (-bc) + bd
= ac – ad – bc + bd.
En effet, lorsque tu multiplies un nombre positif par un nombre négatif, le résultat est négatif. Ex : 3 × (−4) = −12.
Mais, lorsque tu multiplies deux nombres négatifs entre eux, cette fois, le résultat est positif. Ex : (-3) x (-7) = 21.
Tu sais désormais ce qu’est la distributivité, ce qui est la base des calculs littéraux, mais corsons un peu les choses !
La triple distributivité ✖️
La triple distributivité sert à développer un produit de trois facteurs, comme (a + b)(c + d)(e + f). La méthode tient en deux étapes : tu développes d’abord deux facteurs avec la double distributivité, puis tu multiplies chaque terme obtenu par le troisième facteur. Avant de réduire, tu dois trouver 2 × 2 × 2 = 8 produits.
Exemple : développons (x + 1)(x + 2)(x + 3). Étape 1 : (x + 1)(x + 2) = x² + 2x + x + 2 = x² + 3x + 2. Étape 2 : (x² + 3x + 2)(x + 3) = x³ + 3x² + 3x² + 9x + 2x + 6 = x³ + 6x² + 11x + 6. Pour vérifier, remplace x par 1 : (1 + 1)(1 + 2)(1 + 3) = 2 × 3 × 4 = 24 et 1 + 6 + 11 + 6 = 24, les deux valeurs sont bien égales.
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À quoi sert le calcul littéral ? 🚀
Le calcul littéral sert à écrire une règle valable pour tous les nombres, à prouver qu’une propriété est toujours vraie et à résoudre des problèmes grâce aux équations. Il permet aussi de traduire un programme de calcul en expression, puis d’aborder les fonctions. C’est l’outil qui fait passer de l’arithmétique à l’algèbre.
Exemple : si tu additionnes trois entiers qui se suivent, tu obtiens forcément un multiple de 3. Prouvons-le. En notant n le premier, on obtient n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1), qui s’écrit bien 3 × un entier.
Après avoir vu les bases, on va aller un peu plus loin et voir comment les lettres peuvent être utilisées dans tes cours de mathématiques.
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L’expression littérale 🖋️
Une expression littérale peut s’apparenter à : A = 5a + 6b – 4 par exemple.
Pour calculer la valeur d’une expression littérale, on remplace chaque lettre par le nombre donné, puis on applique les priorités de calcul. Avec a = 2 et b = 3, on obtient A = 5 × 2 + 6 × 3 − 4 = 10 + 18 − 4 = 24.
💡 Pour info
Une lettre est aussi appelée « variable » dans une expression littérale.
Pour t’y retrouver, prends l’habitude de mettre en ordre une expression. Changer l’ordre des termes d’une somme ne modifie pas sa valeur, mais l’expression devient plus lisible.
Pour cela, il faut ordonner de façon décroissante les exposants des variables.
Voici l’expression littérale B = 15 + 7x² – 3x + x³
Pour rendre cette expression plus lisible, on l’écrit sous cette forme : B = x³ + 7x² – 3x + 15. ✅
D’ailleurs, dans une expression littérale où le signe « – » est placé devant des parenthèses, il faut changer les signes des termes à l’intérieur de ces parenthèses.
Ex : B = (3x² + 5x² + x²) – (7x + 2x – 6)
B = 3x² + 5x² + x² – 7x – 2x + 6
B = 9x² – 9x + 6
Les identités remarquables 👀
Elles permettent d’accélérer des calculs, notamment pour résoudre des équations du second degré (x2). En bref, tu dois simplement les apprendre par cœur : les 3 identités remarquables que l’on va voir te permettront par la suite de développer ou factoriser en un seul coup. Finis les longs calculs !
Carré d’une différence ➖
(a-b)² = (a-b) (a-b) = a² – ab – ba + b²
Donc (a-b)² = a² – 2ab + b²
Le carré d’une somme ➕
(a+b)² = (a+b) (a+b) = a² + ab + ba + b²
Ce qui nous donne : (a+b)² = a² + 2ab + b²
Produit de la somme par la différence ➕➖
(a+b)(a-b) = a x a + a x (-b) + b x a + b x (-b) = a² – ab + ab – b²
Donc (a+b)(a-b) = a² – b²
Ces trois identités remarquables se lisent dans les deux sens. Pour développer : (x + 3)² = x² + 2 × x × 3 + 3² = x² + 6x + 9. Pour factoriser une différence de deux carrés : x² − 25 = x² − 5² = (x + 5)(x − 5).
Et voilà retiens ces trois résultats et tu feras des merveilles dans ton cours. D’ailleurs si tu souhaites t’améliorer, n’hésite pas à prendre des cours particuliers de maths en ligne avec l’un de nos Sherpas !
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Les équations 🟰
Finissons par un mot qui en effraie beaucoup, surtout au collège : les équations 😱 !
💡 Définition
Une équation lie des inconnues à des valeurs connues. Et pour le point historique, l’étude des équations (connue, aujourd’hui, sous le nom « algèbre ») a nettement progressé grâce aux recherches des mathématiciens arabo-persans 🌍.
Les équations du premier degré ♨️
Ce sont les équations qui s’écrivent sous la forme « ax + b = cx + d » où a, b, c et d sont des nombres tels que a ≠ c (a est différent de c). D’ailleurs, une équation du premier degré a une unique solution.
Passons à un exemple, afin que tu comprennes au mieux. Essayons de résoudre 6x – 7 = 4x + 3.
↪️ Info
Pour résoudre une équation du premier degré, on rassemble les termes en x dans un membre de l’égalité, et les nombres seuls dans l’autre membre.
Pour faire passer un terme de l’autre côté du signe égal, il faut changer son signe (on fait la même opération sur les deux membres). ⛔
Dans notre cas, on met « 4x » à gauche et cela donne :
Premièrement, 6x – 7 – 4x = 3
Deuxièmement, on fait passer le « -7 » à droite, ce qui nous amène à :
6x – 4x = 3 + 7
Troisièmement, on calcule chaque côté :
2x = 10
Et pour finir, on divise par deux chaque côté de l’équation pour arriver à une solution où X est égal à un nombre, ce qui nous donne :
2x/2 = 10/2
X = 5
On peut même vérifier notre réponse en reprenant le problème de départ :
6 x 5 – 7 = 4 x 5 + 3
30 – 7 = 20 + 3
23 = 23
Ce qui est juste ! Félicitations à tous 🎉 !
Les équations du second degré 🥵
Quant aux équations du second degré, elles prennent la forme ax²+bx+c=0 (avec a qui est non nul). La première étape consiste à calculer le discriminant delta Δ. Pour ce faire, il suffit d’appliquer cette formule : Δ = b² – 4ac.
Ensuite, selon le résultat, on va pouvoir en déduire le nombre de solutions à trouver. Petite précision : le discriminant se voit en première (spécialité maths), pas au collège.
❌ Si Δ < 0 : il n’y a aucune solution.
👍 Ou alors, si Δ = 0 : il y a une seule solution qu’on calculera avec x = -b/2a
🤞Et dernier cas de figure, si Δ > 0 : il y a deux solutions qu’on calculera avec x1 = (-b+√Δ)/(2a) et x2 = (-b – √Δ)/(2a).
💡Exemple
Calculons le discriminant de l’équation 2x² − x − 6 = 0.
On a donc, a = 2, b = -1 et c = -6
Ce qui donne, Δ = b² − 4ac = (−1)² − 4 × 2 × (−6) = 1 + 48 = 49. Comme Δ > 0, l’équation possède deux solutions distinctes :
x1 = (−(−1) + √49) / (2 × 2)
= (1+7) / 4
= 8/4
= 2
x2 = (−(−1) − √49) / (2 × 2)
= (1-7) / 4
= -6/4
= -3/2
Voilà, les deux solutions de cette équation du second degré sont : x1 = 2 et x2 = -3/2.
On a fait le tour des calculs littéraux et de tous les thèmes que tu aborderas au cours de ton année 📚 ! Et si tu ne comprends toujours rien à tout ce charabia, tu peux prendre des cours de maths avec les Sherpas !
