Nos techniques pour s’améliorer en calcul mental ! 💪

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 09/06/2022
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Le calcul mental est une notion de maths indispensable tant dans le cadre scolaire que la vie de tous les jours. On est souvent tentés de compter sur nos doigts, de vouloir attraper une calculatrice ou un téléphone pour essayer de s’en sortir quand on nous rend la monnaie à la boulangerie…

Rassure-toi, Einstein, s’améliorer en calcul mental est possible. Si tu es ici pour connaître les astuces à ressortir lors d’une interro, pour gagner du temps dans un devoir de mathématiques ou pour acheter tranquillement ta baguette, t’as toqué à la bonne porte ! 😉

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Tu veux savoir comment progresser en maths durablement ? 👈

L’utilité du calcul mental 👇

À quoi ça sert, sur le papier ?

Le calcul mental est un outil qui permet de donner un résultat sans trop réfléchir, et sollicite toujours des notions vues en cours. Il permet de créer des automatismes, comme en voiture avec un feu rouge : directement, on débraye et on appuie sur le frein sans trop réfléchir. Enfin, pour ceux qui ont le permis…

👉 Le temps gagné par les automatismes du calcul mental te permet donc de te focaliser sur le calcul réfléchi ou la réflexion plus poussée d’un exercice

Tous les jours, nous faisons des opérations simples (additions, soustractions, multiplications, divisions), par exemple, pour aller acheter une baguette de pain, contrôler la monnaie rendue (au cas ou le vendeur chez Monop’ veuille te douiller), gérer tes finances… On arrive à avoir une prévision rapide et chiffrée dans plein de situations différentes. 

Les bienfaits du calcul mental 

Le calcul mental est une sorte de gymnastique du cerveau il sollicite la mémoire à long terme.

D’ailleurs, selon une étude récente, il stimule une région déterminée du cerveau 🧠 (le cortex préfrontal dorsolatéral, pour être précis) et ainsi permet de lutter contre le stress et/ou l’anxiété. Et c’est en pratiquant qu’on peut s’améliorer en calcul mental.

Bref, tu l’auras compris cela ne sert pas que pour ton interro et/ou DST de maths, mais pour la vie de tous les jours !

Les indispensables (niveau collège/lycée) pour s’améliorer en calcul mental

Pour améliorer son calcul mental, il faut déjà connaître les résultats de certains calculs ou types d’opérations mathématiques dits “de base”. Tu as déjà dû les apprendre pour la plupart, mais un petit rappel ne peut pas faire de mal (pas de panique, il n’est pas question ici de revoir les tables de multiplications)

Les identités remarquables : 

  • (a+b)² = a² + 2ab + b²
  • (a-b)² = a² – 2ab + b²
  • a² – b² = (a+b)(a-b)
  • (-a-b)² = (a+b)²
  • (-a+b)² = (a-b)²
  • (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab³ + b³ soit  a³ + b³ + 3ab (a+b)
  • (a-b)³ = a³ – 3a²b + 3ab³ – b³ soit  a³ – b³ – 3ab (a-b) 
  • a³-b³ = (a-b)(a² + ab + b²)
  • a³+b³ = (a+b)(a² – ab + b²) 

👉 Indispensables pour quiconque voulant s’améliorer en calcul mental. Tu as dû – et dois encore – les trouver dans tes DS. 

Les carrés parfaits ✨

👉 Indispensables pour pouvoir simplifier des expressions algébriques. Mais pas que ! Cela t’aidera pour appliquer le théorème de Pythagore ou encore simplifier la valeur de la racine évidente d’une expression en passant par le discriminant (le fameux √Δ).

Carrés parfaits jusqu’à 20 :

  • 1² = 1
  • 2² = 4
  • 3² = 9
  • 4² = 16
  • 5² = 25
  • 6² = 36
  • 7² = 49
  • 8² = 64
  • 9² = 81
  • 10² = 100
  • 11² = 121
  • 12² = 144
  • 13² = 169
  • 14² = 196
  • 15² = 225
  • 16² = 256
  • 17² = 289
  • 18² = 324
  • 19² = 361
  • 20² = 400

💡 Astuce de matheux

Les tables des carrés, cubes, … se retiennent comme les tables de multiplications apprises par les enfants à l’école, sous forme de jeu. Même maintenant, on peut encore en apprendre de façon ludique !

Les propriétés sur les puissances 

Elles sont très utiles au collège et en Seconde, mais aussi en Première et en Terminale avec la fonction exponentielle. 

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On t’en parle d’ailleurs dans le programme de maths de première !

👉 En les connaissant par cœur, tu pourras trouver plus facilement le résultat d’une fonction composée avec exponentielle (par exemple), sans avoir à écrire toutes les étapes de calcul. Tu gagneras masse de temps ! 

Puissances de 2

  • 2² = 4
  • 2³ = 8
  • 24 = 16
  • 25 = 32
  • 26 = 64
  • 27 = 128
  • 28 = 256
  • 29= 512
  • 210 = 1024

💡 T’as KPTÉ ?

Ca fait penser aux capacités de stockage des téléphones en Go (et oui les mathématiques sont partout …)

Multiplication par 0,…

Cette formule permet de faciliter des calculs (notamment les pourcentages) et de visualiser plus aisément les opérations.

  • Multiplier par 0,8 revient à multiplier par 8/10, soit 4/5. Donc à multiplier par 4 et à diviser par 5 !
  • Multiplier par 0,75 revient à multiplier par ¾  donc à multiplier par 3 et à diviser par 4 !
  • Multiplier par 0,5 revient à multiplier par ½, donc à diviser par 2
  • Multiplier par 0,25 revient à multiplier par ¼, donc à diviser par 4
  • Multiplier par 0,2 revient à multiplier par ⅕, donc à diviser par 5
  • Multiplier par 0,125 revient à multiplier par ⅛, donc à diviser par 8
  • Multiplier par 0,1 revient à multiplier par 1/10 et donc à diviser par 10.

Les nombres premiers

Un “nombre premier” est un entier naturel qui n’est divisible que par 1 et lui-même. 

C’est lesquels ? 👇

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197 et 199.

👉  Pour améliorer son calcul mental, mieux vaut les apprendre par cœur. En plus, ça te facilitera la vie dans avec les fractions : plus besoin de perdre du temps à se demander si elles sont réductibles ou non ! La bella vita 😎

Trigonométrie : les valeurs remarquables (Maths/Physique) 📏

Cosinus 

  • Cos (0°) = 1
  • Cos (30°) = √3/2
  • Cos (45°) = √2/2
  • Cos (60°) = 1/2
  • Cos (90°) = 0

Sinus 

  • Sin (0°) = 0
  • Sin (30°) = 1/2
  • Sin (45°) = √2/2
  • Sin (60°) = √3/2
  • Sin (90°) = 1

Tangente 

  • Tan (0°) = 0
  • Tan (30°) = √3/3 
  • Tan (45°) = 1
  • Tan (60°) = √3
  • Tan (90°)  n’existe pas

Retiens également la valeur des angles en radian ! Utile également pour les projetés orthogonaux des forces dans un repère en physique 👩‍🔬

👉 Ça te permet de calculer la valeur d’une expression sans avoir besoin de sortir la calculatrice (d’ailleurs tu as déjà oublié où tu l’as mise)

Pour les apprendre tu peux t’aider du cercle trigonométrique : en visualisant, tu retiendras mieux.  

Comment améliorer son calcul mental : les pourcentages 💯

Augmentation d’un prix de t%

👉 Utile pour calculer rapidement le montant d’un taux d’intérêt lors d’un rendez-vous bancaire par exemple. 

Formule : Prix*(1 + t%)

Exemple 👇

En souscrivant à un crédit de 200€ dont le taux d’intérêt est de 10% par an, quel sera le montant du remboursement à la fin de l’année ?

👉 On a : 200*(1 + 10/100) 

Convertis en décimal le pourcentage : 0,1 auquel on ajoute 1. 

👉 On obtient alors 1,1.

Il suffit de multiplier 200 par 1,1 autrement dit 200*1 + 200*0,1

C’est là où les multiplications par 0,… te seront particulièrement utiles ! En effet, 200*0,1 revient à diviser par 10. Donc cette opération donne 20. Enfin, on l’ajoute à 200. 

Réponse : On obtient ainsi le résultat de 220€. 😊

 

Diminution d’un prix de t%

👉 Très utile pour avoir une idée du prix d’un produit (lors des soldes par exemple)

Formule : Prix*(1 – t%)

Exemple avec méthode 👇

Imagines devoir acheter un pull à 44 €, avec une remise de 25% en caisse. 

👉 On a : 44*(1 – 25/100) 

Convertis en décimal le pourcentage : 0,25 puis soustrait le à 1. 

On obtient alors 0,75.

Il suffit de multiplier 44 par 0,75 : 

Là encore les multiplications par 0,… te seront particulièrement utiles. En effet, on a vu que 0,75 revient à multiplier par 3 puis diviser par 4 (soit multiplier par ¾) 

Donc : 44/4 = 11, ue l’on multiplie par 3.

👉 Réponse : On obtient ainsi le résultat de 33€ pour ce produit.

 

👉 Quand le prix d’un produit est avec des décimales, à moins de vouloir le résultat au centime près, tu peux déjà te faire une idée du prix à payer pour ton produit, en arrondissant dès le départ ce prix.

💡 Astuce de matheux

Pour les pourcentages tels que 25%, 50%,… tu peux obtenir le résultat plus rapidement en sachant dès le départ que tu dois ajouter/soustraire au prix de base, sa moitié (dans le cas de 50%) ou son quart (25%).

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La peur des maths, c’est une vraie maladie ! On la soigne ensemble ? 😉

Multiplication par 11 : la méthode !

👉 Les étapes de calcul, ici, peuvent te paraitre un peu compliquées. Pas de panique, pas une fois que tu as compris le principe, tu ne mettras que quelques secondes à peine à trouver le résultat. 🙃

Multiplication d’un nombre entre 10 et 99 par 11 

C’est simple. On prend le nombre multiplié par 11 et on espace les deux chiffres qui le composent. On effectue la somme de ces deux chiffres puis on le place entre les deux. Et hop, voilà le résultat !

✅ Prenons un exemple : 53*11

5+3 = 8

👉 Le résultat est 583. Easy !

⚠️ Dans le cas où la somme des deux chiffres est supérieure ou égale à 10, pas de souci, on ajoute la retenue au premier chiffre

✅ Prenons à nouveau un exemple : 67*11

6+7 = 13

On devrait avoir : 637 et une retenue chez les centaines. On ajoute la retenue, ici au chiffre 6 : 6+1 = 7. 

👉 Donc le résultat est 737.

 

Multiplication d’un nombre entre supérieur ou égal à 100 par 11

On prend le nombre multiplié par 11 et on espace les deux chiffres – situés aux extrémités – qui le composent. Puis on additionne le chiffre des unités et celui des dizaines et celui des dizaines et des centaines. On place ces deux chiffres entre ceux “espacés”.

✅ Prenons un exemple pour bien comprendre : 253*11

👉 On place le chiffre 2 et 3 (espacés mentalement) après, on a 3+5=8 et 2+5=7

On obtient comme résultat : 2783

Tu n’y crois pas… tu peux vérifier avec ton téléphone. 

⚠️ Dans le cas où la somme des deux chiffres est supérieure ou égale à 10, pas de soucis, on ajoute la retenue au premier chiffre. 

Multiplication de deux nombres quelconques : le hack ultime 🎯

C’est la façon ultime d’améliorer son calcul mental 🤯

53*42 alors … ? On ne va pas se mentir, ça parait assez impressionnant.

Voilà la méthode 👇

  1. Multiplier le chiffre des unités de l’un par celui de l’autre : 3 x 2 = 6

On peut se l’écrire mentalement (ce sera le chiffre des unités du résultat final)

  1. Produit croisé (multiplier le chiffre des unités de l’un par celui des dizaines de l’autre et inversement) : 3 x 4 = 12 et 5 x 2 = 10 
  2. Faire la somme de ces deux produits : 12 + 10 = 22
  3. On pose alors le chiffre des unités du résultat obtenu à l’étape précédente et l’on garde le chiffre des dizaines en retenue. Ici, on “écrit” mentalement 2 (comme chiffre des dizaines du résultat final) et on retient 2.
  4. Multiplier les deux chiffres des dizaines et y ajouter la retenue : 5 x 4 = 20 et 20 + 2 = 22. On l’écrit mentalement devant les deux chiffres trouvés précédemment.

👉 Réponse : 2226 ✅

Cela peut te sembler un peu long et fastidieux de calculer tout mentalement. Pas de panique, avec un peu d’entraînement, on peut améliorer son calcul mental : tu vas donc vite progresser. Tu mettras moins de temps à effectuer les opérations pour arriver au résultat qu’à lire la méthode 😉

S’améliorer en calcul mental avec de l’entraînement 🏋️‍♀️

L’entraînement est indispensable pour améliorer son calcul mental ! On a souvent l’impression qu’on est fait (ou pas) pour les maths. Or, très peu sont ceux chez qui c’est inné ! Et oui, c’est une aptitude qui se travaille, peu importe ton niveau. 😉

Le problème est qu’aujourd’hui, nous avons tous notre calculatrice sur notre téléphone. On la laisse, de ce fait, faire le calcul à notre place, et on ne prend plus la peine de calculer de tête. Mais désormais tu as toutes les clefs en main pour éviter de la sortir pour une petite opération ! 👋

Même mieux, à force de réaliser de petits calculs de tête dans des exercices, lors d’un DST, tu gagneras du temps par les automatismes déjà ancrés. Tu te concentreras alors plus facilement et plus rapidement sur la partie réflexion. Les touches de ta calculatrice ne te serviront plus qu’à taper tes grands calculs et non plus à vérifier que 12*12 = 144 (oui oui, on l’a tous fait).  

Pour t’entraîner et progresser, lorsque tu fais tes exercices de maths, n’oublie jamais de commencer par apprendre ton cours et notamment les propriétés de calculs (puissances, etc…).

comment apprendre plus vite

En plus, on t’a fait une vidéo pour apprendre tes cours 3x plus vite ! Truc de fou à voir d’urgence👇

Le “Last but not least” pour s’améliorer en calcul mental 👇

La visualisation 👁

👉 L’une des techniques pour bien réaliser un calcul mental est, pour la plupart des personnes, la visualisation mentale du calcul. 

Le piège des retenues

9000-4687 = ?

Astuce : calculer 8999 – 4687 et rajouter +1 au résultat obtenu. 

👉 Soit 4312 + 1 = 4313 🤝

 

Apprendre des ordres de grandeur

Pi ? 3,1415926535… (on pourrait presque tenter d’apprendre les 10 000 premières décimales de Pi 😶)

👉 Connaître des ordres de grandeur permet de te faire une idée approximative du résultat. 

Contrairement à la physique, où il est souvent plus facile de voir une incohérence dans ta réponse (par exemple, si tu trouves une quantité qui paraît très grande pour quelque chose qui ne l’est pas dans l’absolu), en maths ça reste plus compliqué.

Les ordres de grandeur à connaître en mathématiques (peu importe ton niveau)

  • Pi = 3,14
  • Φ [nombre d’or] = 1,618
  • √2 = 1,41
  • √3 = 1,73
  • √5 = 2,24

Conversion (d’une unité à une autre)

👉  Il est important, pour avoir une fluidité dans les calculs, de connaître les ordres de grandeur des mesures (comment passer de l’une à l’autre par un rapport de puissance de 10). Les exercices (notamment en physique), nécessitent des conversions entre les unités du système international. 

✅ L en m³, Giga en kilo, kilomètres par heure en mètres par seconde, …

Les regroupements astucieux 😌

La plupart du temps, les personnes arrivant à calculer rapidement de tête, en plus d’avoir des automatismes, font des regroupements astucieux d’opérations. Ça fonctionne particulièrement bien dans le cas des additions

✅ Exemple

Si tu es en train de faire tes courses, que tu souhaites avoir une idée du prix que tu vas payer, et savoir combien tu peux encore dépenser : 9,50 € + 3,99 € + 10,00 € + 3,50 €

👉 Typiquement, il convient de calculer tout d’abord 9,50 + 3,50 = 13 € puis de faire l’addition avec les deux autres.

Le calcul mental n’a plus aucun secret pour toi ! 

Ça y est, tu sais jongler avec les nombres ! Maintenant qu’on a vu comment améliorer son calcul mental y’a plus qu’à practice (après la théorie… la pratique) 

Tu peux d’ores et déjà commencer à t’entraîner en faisant des exercices ! Si tu sais que tu vas te faire interroger sur un certain type de calcul prochainement, tente d’imaginer le type d’opération qui risque de t’être donné, en parallèle d’apprendre ton cours (propriétés de calcul,…). 

Tu peux demander à quelqu’un de te donner des opérations pour t’entraîner et le faire de façon ludique (il existe aussi des jeux en ligne !).

Cheers les Einstein 😇

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