Calcul de primitives : exercice corrigé

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 07/07/2022
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Vous étudiez actuellement un calcul de primitives ? Grâce à cet article dédié à la notion calcul de primitives exercice corrigé, découvrez les méthodologies les plus affutées pour réussir vos exercices et vos examens.

 

Exercice 1 : Calcul de primitives

⏰ Durée : 20 min

💪 Difficulté : niveau 2/3

Trouver les primitives des fonctions à valeurs réelles suivantes :

1. f(x)=\e^{x}\sin(x);

2. g(x)=\sqrt{\e^x-1};

3. h(x)=x^2\e^{x};

4. i(x)=\dfrac{1}{x^2+2x+1};

5. j(x)=\dfrac{1}{2x^2+2x-12};

6. k(x)=\dfrac{1}{x^2-2x+5}.

Corrigé de l’exercice 1 : Calcul de primitives

1. Pour tout x\in\R, f(x)=e^{x}\mathfrak{Im}\left(e^{\i x}\right)=\mathfrak{Im}\left(e^{(1+\i) x}\right). Les primitives de la fonction x\mapsto  e^{(1+\i) x} sont les fonctions x\mapsto \dfrac{e^{(1+\i) x}}{1+\i}+C avec C\in\mathbb{C}. Par conséquent, les primitives de f sont les fonctions F telles que :

    \[\forall x\in\mathbb{R},\;F(x)=\mathfrak{Im}\left(\dfrac{1}{1+\i}e^{(1+\i) x}+C\right)=-\dfrac{\cos(x)}{2}e^x+\dfrac{\sin(x)}{2}e^x+C,\;C\in\mathbb{R}.\]

    \[\forall x\in\mathbb{R},\;F(x)=\mathfrak{Im}\left(\dfrac{1}{1+\i}e^{(1+\i) x}+C\right)=-\dfrac{\cos(x)}{2}e^x+\dfrac{\sin(x)}{2}e^x+C,\;C\in\mathbb{R}.\]


2. Commençons par calculer la primitive de g qui s’annule en 0 : \displaystyle G(x)=\int_0^x \sqrt{e^t-1}\mathrm{d}t. On va calculer cette intégrale en effectuant le changement de variable u=\sqrt{e^t-1}\Longleftrightarrow t=\ln(1+u^2).
On a : \mathrm{d}t=\dfrac{2u}{1+u^2}\mathrm{d}u. Finalement :

    \[\forall x\in\mathbb{R},\;G(x)=\int_{0}^{\sqrt{e^x-1}}u \dfrac{2u}{1+u^2}\mathrm{d}u=2\int_{0}^{\sqrt{e^x-1}}\left(1-\dfrac{1}{1+u^2}\right)\mathrm{d}u=2\sqrt{e^x-1}- $ 2\arctan\left(\sqrt{e^x-1}\right) $.\]

    \[\forall x\in\mathbb{R},\;G(x)=\int_{0}^{\sqrt{e^x-1}}u \dfrac{2u}{1+u^2}\mathrm{d}u=2\int_{0}^{\sqrt{e^x-1}}\left(1-\dfrac{1}{1+u^2}\right)\mathrm{d}u=2\sqrt{e^x-1}- $ 2\arctan\left(\sqrt{e^x-1}\right) $.\]

Les primitives recherchées sont les fonctions \displaystyle x\mapsto 2\sqrt{e^x-1}-2\arctan\left(\sqrt{e^x-1}\right)+ C avec C\in\mathbb{R}.
3. Pour trouver les primitives de h on effectue deux intégrations par parties consécutives. Les primitives recherchées sont les fonctions x\mapsto (x^2-2x+2)e^x+ C avec C\in\mathbb{R}.
4. On va essayer de factoriser le dénominateur, on remarque qu’il s’agit d’une identité remarquable x^2+2x+1=(x+1)^2. La fonction i est donc sous la forme u'/u^n, les primitives de i sont les fonctions x\mapsto \dfrac{-1}{x+1}+C, C\in\mathbb{R}.
5. On va factoriser le dénominateur. x\mapsto 2x^2+2x-12 est une fonction polynomiale du second degré ayant deux racines réelles : 2 et -3. On va chercher (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2 tel que :

    \[j(x)=\dfrac{\alpha}{x+3}+\dfrac{\beta}{x-2}.\]

    \[j(x)=\dfrac{\alpha}{x+3}+\dfrac{\beta}{x-2}.\]

En réduisant au même dénominateur et en identifiant les coefficients, il vient :

    \[\alpha=-\dfrac{1}{10},\;\;\beta=\dfrac{1}{10}.\]

    \[\alpha=-\dfrac{1}{10},\;\;\beta=\dfrac{1}{10}.\]

Finalement, les primitives de j sont les fonctions :

    \[x\mapsto -\dfrac{1}{10}\ln(|x+3|)+\dfrac{1}{10}\ln(|x-2|)+C=\dfrac{1}{10}\ln\left|\dfrac{x-2}{x+3}\right|+C,\;C\in\mathbb{R}.\]

    \[x\mapsto -\dfrac{1}{10}\ln(|x+3|)+\dfrac{1}{10}\ln(|x-2|)+C=\dfrac{1}{10}\ln\left|\dfrac{x-2}{x+3}\right|+C,\;C\in\mathbb{R}.\]


6. Le dénominateur n’admet aucune racine réelle, on va le réécrire sous forme canonique :

    \[x^2-2x+5=(x-1)^2+4.\]

    \[x^2-2x+5=(x-1)^2+4.\]

Ainsi :

    \[k(x)=\dfrac{1}{(x-1)^2+4}=\dfrac{1}{2}\dfrac{1/2}{((x-1)/2)^2+1}.\]

    \[k(x)=\dfrac{1}{(x-1)^2+4}=\dfrac{1}{2}\dfrac{1/2}{((x-1)/2)^2+1}.\]

On remarque que k est sous la forme \dfrac{u'}{u^2+1} dont une primitive est \arctan(u). Les primitives de k sont les fonctions :

    \[x\mapsto \dfrac{1}{2}\arctan\left(\dfrac{x-1}{2}\right)+C,\;C\in\mathbb{R}.\]

    \[x\mapsto \dfrac{1}{2}\arctan\left(\dfrac{x-1}{2}\right)+C,\;C\in\mathbb{R}.\]

livre maths mpsi vuibert

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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