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Exercices d’application sur les espaces vectoriels
Exercice 1 : Espace vectoriel
💪 Difficulté : niveau 1/3
Montrer que les ensembles suivants sont des espaces vectoriels.
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. .
Exercice 2 : Espace vectoriel
💪 Difficulté : niveau 2/3
Soient un -espace vectoriel et et deux sous-espaces vectoriels de .
Montrer que est un sous-espace vectoriel de si, et seulement si, ou .
Corrigés des exercices d’application sur les espaces vectoriels
Exercice 1 :
1. Soit . Le vecteur appartient à si, et seulement si, . Donc, et est un sous-espace vectoriel de .
Ainsi, est un espace vectoriel.
2. On a et est un -espace vectoriel.
La fonction nulle, notée , est continue sur et vérifie, pour tout , . Donc, .
Soient et . La fonction est continue comme combinaison linéaire de fonctions continues.
De plus, comme , pour tout , on a :
Donc, .
D’où, est un sous-espace vectoriel de et est donc un espace vectoriel.
3. On a et est un -espace vectoriel.
La suite vérifie, pour tout , . Donc, . Soient et .
D’où, est un sous-espace vectoriel de et est donc un espace vectoriel.
4. On a et est un espace vectoriel.
La suite nulle converge vers 0, donc, .
Soient et .
La suite converge comme combinaison linéaire de suites convergentes et :
Donc, .
D’où, est un sous-espace vectoriel de et est donc un espace vectoriel.
5. On a et est un espace vectoriel.
La fonction nulle, notée , est continue sur et vérifie, . Donc, .
Soient et . La fonction est continue comme combinaison linéaire de fonctions continues.
De plus, par linéarité de l’intégrale, .
Donc, .
D’où, est un sous-espace vectoriel de et est donc un espace vectoriel.
Exercice 2 :
On raisonne par double implication.
() L’implication réciproque est claire. En effet, si ou , alors . Dans les deux cas, est un sous-espace vectoriel de .
() Pour l’implication directe, on raisonne par contraposée : on suppose que et .
Il existe alors tel que et tel que .
On a et . Montrons que :
si , alors, comme est un sous-espace vectoriel de , , ce qui n’est pas;
si , alors, comme est un sous-espace vectoriel de , , ce qui n’est pas.
Donc .
On en déduit que n’est pas stable par combinaison linéaire et n’est donc pas un sous-espace vectoriel de .
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