Exercice : espaces vectoriels

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 08/07/2022
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Exercices d’application sur les espaces vectoriels

Exercice 1 : Espace vectoriel

💪 Difficulté : niveau 1/3

Montrer que les ensembles suivants sont des espaces vectoriels.

1. E_1 = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3, x=y=z\};
2. E_2 = \{f \in \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C}), \forall x\in\mathbb{R}, f(x)=f(2x)\};
3. E_3 = \{u=(u_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}, \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+2}=3nu_{n+1}+n^2u_n\};
4. E_4 = \{(u_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}, \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0\};
5. E_5 = \{f \in \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R}), \int_{-1}^1 f(t) \text{d}t = 0 \}.

Exercice 2 : Espace vectoriel

💪 Difficulté : niveau 2/3

Soient E un \mathbb{K}-espace vectoriel et F et G deux sous-espaces vectoriels de E.
Montrer que F \cup G est un sous-espace vectoriel de E si, et seulement si, F \subset G ou G \subset F.

Corrigés des exercices d’application sur les espaces vectoriels

Exercice 1 :

1. Soit (x,y,z) \in \mathbb{R}^3. Le vecteur (x,y,z) appartient à E_1 si, et seulement si, (x,y,z) = x.(1,1,1). Donc, E_1 = Vect((1,1,1)) et E_1 est un sous-espace vectoriel de \mathbb{R}^3.
Ainsi, E_1 est un espace vectoriel.

2. On a E_2 \subset \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{C}) et \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{C}) est un \mathbb{C}-espace vectoriel.
La fonction nulle, notée \tilde{0}, est continue sur \mathbb{R} et vérifie, pour tout x \in \mathbb{R}, \tilde{0}(x) = 0 = \tilde{0}(2x). Donc, \tilde{0} \in E_2.
Soient (f,g) \in E_2 \times E_2 et \lambda \in \mathbb{C}. La fonction \lambda.f+g est continue comme combinaison linéaire de fonctions continues.
De plus, comme (f,g)\in E_2 \times E_2, pour tout x \in \mathbb{R}, on a :

    \[(\lambda.f+g)(x)=\lambda f(x)+g(x)=\lambda f(2x)+g(2x)=(\lambda.f+g)(2x).\]

    \[(\lambda.f+g)(x)=\lambda f(x)+g(x)=\lambda f(2x)+g(2x)=(\lambda.f+g)(2x).\]

Donc, \lambda.f+g \in E_2.
D’où, E_2 est un sous-espace vectoriel de \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{C}) et est donc un espace vectoriel.

3. On a E_3 \subset \mathbb{R}^\mathbb{N} et \mathbb{R}^\mathbb{N} est un \mathbb{R}-espace vectoriel.
La suite w=(0)_{n \in \mathbb{N}} vérifie, pour tout n \in \mathbb{N}, w_{n+2} = 0 = 3nw_{n+1} + n^2 w_n. Donc, w \in E_3. Soient (u,v) \in E_3 \times E_3 et \lambda \in \mathbb{R}.
D’où, E_3 est un sous-espace vectoriel de \mathbb{R}^\mathbb{N} et est donc un espace vectoriel.

4. On a E_4 \subset \mathbb{R}^\mathbb{N} et \mathbb{R}^\mathbb{N} est un espace vectoriel.
La suite nulle converge vers 0, donc, w \in E_4.
Soient (u,v) \in E_4 \times E_4 et \lambda \in \mathbb{R}.
La suite \lambda.u+v converge comme combinaison linéaire de suites convergentes et :

    \[\lim\limits_{n \to +\infty} \lambda u_n + v_n = \lambda \lim\limits_{n \to +\infty} u_n + \lim\limits_{n \to +\infty} \lambda v_n= 0\]

    \[\lim\limits_{n \to +\infty} \lambda u_n + v_n = \lambda \lim\limits_{n \to +\infty} u_n + \lim\limits_{n \to +\infty} \lambda v_n= 0\]

Donc, \lambda.u+v \in E_4.
D’où, E_4 est un sous-espace vectoriel de \mathbb{R}^\mathbb{N} et est donc un espace vectoriel.

5. On a E_5 \subset \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}) et \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}) est un espace vectoriel.
La fonction nulle, notée \tilde{0}, est continue sur \mathbb{R} et vérifie, \int_{-1}^1 \tilde{0}(t) \text{d}t = 0. Donc, \tilde{0} \in E_5.
Soient (f,g) \in E_5 \times E_5 et \lambda \in \mathbb{R}. La fonction \lambda.f+g est continue comme combinaison linéaire de fonctions continues.
De plus, par linéarité de l’intégrale, \int_{-1}^1 \lambda.f+g(t) \text{d}t = \lambda \int_{-1}^1 f(t) \text{d}t + \int_{-1}^1 g(t) \text{d}t = 0.
Donc, \lambda.f+g \in E_5.
D’où, E_5 est un sous-espace vectoriel de \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{C}) et est donc un espace vectoriel.

Exercice 2 :

On raisonne par double implication.
(\Leftarrow) L’implication réciproque est claire. En effet, si F \subset G ou G \subset F, alors F \cup G = F. Dans les deux cas, F \cup G est un sous-espace vectoriel de E.
(\Rightarrow) Pour l’implication directe, on raisonne par contraposée : on suppose que F \not\subset G et G \not\subset F.
Il existe alors u \in F tel que u \notin G et v \in G tel que v \notin F.
On a u \in F \cup G et v \in F \cup G. Montrons que u+v \notin F \cup G :
  • si u+v \in F, alors, comme F est un sous-espace vectoriel de E, v=(u+v)-u \in F
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