Espace vectoriel : exercices corrigés

Tu cherches un exercice sur les espaces vectoriels ? C’est ton jour de chance, car nous t’en proposons même deux, avec leur corrigé bien sûr ! Grâce aux Sherpas, obtiens 20 sur 20 à ta prochaine interro de mathématiques !

Exercices d’application sur les espaces vectoriels

Exercice 1 : Espace vectoriel

💪 Difficulté : niveau 1/3

Montrer que les ensembles suivants sont des espaces vectoriels.

1. $E_1 = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3, x=y=z\}$

;
2. $E_2 = \{f \in \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C}), \forall x\in\mathbb{R}, f(x)=f(2x)\}$

;
3. $E_3 = \{u=(u_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}, \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+2}=3nu_{n+1}+n^2u_n\}$

;
4. $E_4 = \{(u_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}, \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0\}$

;
5. $E_5 = \{f \in \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R}), \int_{-1}^1 f(t) \text{d}t = 0 \}$

Exercice 2 : Espace vectoriel

💪 Difficulté : niveau 2/3

Soient $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel et $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$

.
Montrer que $F \cup G$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si, et seulement si, $F \subset G$ ou $G \subset F$

Corrigés des exercices d’application sur les espaces vectoriels

Exercice 1 :

1. Soit $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ . Le vecteur $(x,y,z)$ appartient à $E_1$ si, et seulement si, $(x,y,z) = x.(1,1,1)$ . Donc, $E_1 = Vect((1,1,1))$ et $E_1$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$

.
Ainsi, $E_1$

est un espace vectoriel.

2. On a $E_2 \subset \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{C})$ et $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{C})$ est un $\mathbb{C}$

-espace vectoriel.
La fonction nulle, notée $\tilde{0}$ , est continue sur $\mathbb{R}$ et vérifie, pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $\tilde{0}(x) = 0 = \tilde{0}(2x)$ . Donc, $\tilde{0} \in E_2$

.
Soient $(f,g) \in E_2 \times E_2$ et $\lambda \in \mathbb{C}$ . La fonction $\lambda.f+g$

est continue comme combinaison linéaire de fonctions continues.
De plus, comme $(f,g)\in E_2 \times E_2$ , pour tout $x \in \mathbb{R}$

, on a :

$(\lambda.f+g)(x)=\lambda f(x)+g(x)=\lambda f(2x)+g(2x)=(\lambda.f+g)(2x).$

Donc, $\lambda.f+g \in E_2$

.
D’où, $E_2$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{C})$

et est donc un espace vectoriel.

3. On a $E_3 \subset \mathbb{R}^\mathbb{N}$ et $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ est un $\mathbb{R}$

-espace vectoriel.
La suite $w=(0)_{n \in \mathbb{N}}$ vérifie, pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $w_{n+2} = 0 = 3nw_{n+1} + n^2 w_n$ . Donc, $w \in E_3$ . Soient $(u,v) \in E_3 \times E_3$ et $\lambda \in \mathbb{R}$

.
D’où, $E_3$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^\mathbb{N}$

et est donc un espace vectoriel.

4. On a $E_4 \subset \mathbb{R}^\mathbb{N}$ et $\mathbb{R}^\mathbb{N}$

est un espace vectoriel.
La suite nulle converge vers 0, donc, $w \in E_4$

.
Soient $(u,v) \in E_4 \times E_4$ et $\lambda \in \mathbb{R}$

.
La suite $\lambda.u+v$

converge comme combinaison linéaire de suites convergentes et :

$\lim\limits_{n \to +\infty} \lambda u_n + v_n = \lambda \lim\limits_{n \to +\infty} u_n + \lim\limits_{n \to +\infty} \lambda v_n= 0$

Donc, $\lambda.u+v \in E_4$

.
D’où, $E_4$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^\mathbb{N}$

et est donc un espace vectoriel.

5. On a $E_5 \subset \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ et $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$

est un espace vectoriel.
La fonction nulle, notée $\tilde{0}$ , est continue sur $\mathbb{R}$ et vérifie, $\int_{-1}^1 \tilde{0}(t) \text{d}t = 0$ . Donc, $\tilde{0} \in E_5$

.
Soient $(f,g) \in E_5 \times E_5$ et $\lambda \in \mathbb{R}$ . La fonction $\lambda.f+g$

est continue comme combinaison linéaire de fonctions continues.
De plus, par linéarité de l’intégrale, $\int_{-1}^1 \lambda.f+g(t) \text{d}t = \lambda \int_{-1}^1 f(t) \text{d}t + \int_{-1}^1 g(t) \text{d}t = 0$

.
Donc, $\lambda.f+g \in E_5$

.
D’où, $E_5$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{C})$

et est donc un espace vectoriel.

Exercice 2 :

On raisonne par double implication.
( $\Leftarrow$ ) L’implication réciproque est claire. En effet, si $F \subset G$ ou $G \subset F$ , alors $F \cup G = F$ . Dans les deux cas, $F \cup G$ est un sous-espace vectoriel de $E$

.
( $\Rightarrow$ ) Pour l’implication directe, on raisonne par contraposée : on suppose que $F \not\subset G$ et $G \not\subset F$

.
Il existe alors $u \in F$ tel que $u \notin G$ et $v \in G$ tel que $v \notin F$

.
On a $u \in F \cup G$ et $v \in F \cup G$ . Montrons que $u+v \notin F \cup G$

si $u+v \in F$ , alors, comme $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ , $v=(u+v)-u \in F$

, ce qui n’est pas;

si $u+v \in G$ , alors, comme $G$ est un sous-espace vectoriel de $E$ , $u=(u+v)-v \in G$

, ce qui n’est pas.

Donc $u+v \notin F \cup G$

.
On en déduit que $F \cup G$ n’est pas stable par combinaison linéaire et n’est donc pas un sous-espace vectoriel de $E$

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720