Analyse asymptotique : exercice corrigé

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 30/03/2022
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Exercice : Analyse asymptotique

⏰ Durée : 15 min

💪 Difficulté : niveau 1/3

Déterminer un équivalent simple des suites définies par :

1. u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1};

3. u_n=a^n-b^n avec (a,b)\in\big(\mathbb{R}_+^*\big)^2 et a\neq b.

2. \displaystyle v_n=\frac{\left(e^{\frac{1}{n}}-1\right) \sin\left(\frac{1}{n^3}\right)}{\tan\left(\frac{1}{n}\right)\left(\sqrt[3]{1+\frac{1}{n}}-1\right)};

Corrigé de l’exercice

1. En multipliant par la quantité conjuguée, on a \displaystyle  u_n=\frac{2}{\sqrt{1+n}+\sqrt{1-n}}=\frac{2}{\sqrt{n}\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1-\frac{1}{n}}\right)}.
Or, par continuité de la fonction \sqrt{\cdot}, on a \displaystyle \sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1-\frac{1}{n}}\xrightarrow[n\to+\infty]{}2. Donc, \displaystyle u_n\sim\frac{1}{\sqrt{n}}.
2. On a : e^u-1\underset{u\to 0}{\sim}u, \sin(u)\underset{u\to 0}{\sim}u, \tan(u)\underset{u\to 0}{\sim}u et \displaystyle\sqrt[3]{1+u}-1=(1+u)^{\frac{1}{3}}-1\underset{u\to 0}{\sim}\frac{u}{3}.
Or, \displaystyle\frac{1}{n}\xrightarrow[n\to+\infty]{}0.
Donc, par substitution, \displaystyle v_n \sim \frac{\frac{1}{n}\times \frac{1}{n^3} }{\frac{1}{n}\times \frac{1}{3n}}\sim \frac{3}{n^2}.
3. Il y a deux cas.
Cas 1 : 0<a<b. On a : \displaystyle u_n=b^n\left(\left(\frac{a}{b}\right)^n-1\right). Or, \displaystyle \left|\frac{a}{b}\right|<1.
Donc, \displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^n=o(1).
Donc, u_n=b^n(-1+o(1)), donc, u_n\sim -b^n.
Cas 2 : 0<b<a. On a : \displaystyle u_n=a^n\left(1-\left(\frac{b}{a}\right)^n\right). Or, \displaystyle \left|\frac{b}{a}\right|<1.
Donc, \displaystyle \left(\frac{b}{a}\right)^n=o(1).
Donc, u_n=a^n(1+o(1)), donc, u_n\sim a^n.
livre maths mpsi vuibert

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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