Sous-espace vectoriel supplémentaire : exercice corrigé

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 08/07/2022
sous-espaces vectoriels supplémentaires

Tu cherches un exercice corrigé sur la notion de sous-espaces vectoriels supplémentaires ? Tu es bien tombé car nous t’en proposons même deux ! Grâce à ces exercices, deviens un pro des sous-espaces vectoriels supplémentaires et décroche un 20 sur 20 lors de ta prochaine interro !

Exercices d’application sur les sous-espaces vectoriels supplémentaires

Exercice 1 :

💪 Difficulté : niveau 1/3

On note E=\mathbb{R}^3, F = Vect((1,0,1)) et G = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3, 2x-z = 0\}.
1. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de E.
2. Montrer que F et G sont supplémentaires dans E.

Exercice 2 :

💪 Difficulté : niveau 2/3

E = \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{K}), F = \{f\in\E, f(\pi)=0\} et G l’ensemble des fonctions constantes.
Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de E.

Corrigés des exercices d’application sur les sous-espaces vectoriels supplémentaires

Exercice 1 :

1. Comme F est l’espace vectoriel engendré par la famille ((1,0,1)), c’est un sous-espace vectoriel de E.
On a G\subset\mathbb{R}^3 et on vérifie que (0,0,0)\in G.
Soient (x_1,y_1,z_1)\in G, (x_2,y_2,z_2)\in G et \lambda \in \mathbb{R}.
On a \lambda.(x_1,y_1,z_1) + (x_2,y_2,z_2) = (\lambda x_1 + x_2, \lambda y_1 + y_2, \lambda z_1 + z_2).
De plus, 2(\lambda x_1 + x_2)-(\lambda z_1 + z_2) = \lambda(2x_1 - z_1)+(2x_2 - z_2) = 0.
Donc, \lambda.(x_1,y_1,z_1) + (x_2,y_2,z_2) \in G. Ainsi, G est un sous-espace vectoriel de E.

2. Soit (x,y,z) \in \mathbb{R}^3. On procède par analyse-synthèse.

\mathbf{Analyse :} On suppose qu’il existe (u,v) \in F \times G tel que (x,y,z) = u + v.
Il existe alors \lambda \in \mathbb{R} tel que u = \lambda.(1,0,1) et on note v=(a,b,c) \in G. On a alors :

    \[(x,y,z) = \underbrace{\lambda.(1,0,1)}_{\in F} + \underbrace{(a,b,c)}_{\in G}\]


Or, 2a-c=0, d’où 2x-z=\lambda + 2a - c = \lambda.
Puis, a=x-\lambda = -x+z, b=y et c=-2x+2z.

\mathbf{Synthèse :} On pose u=(2x-z).(1,0,1) et v=(-x+z, y, -2x+2z).
On a :
  • u \in F ;
  • v \in G car 2(-x+z)-(-2x+2z) = 0;
  • u + v = (x,y,z).
  • Donc, il existe un unique couple (u,v) \in F \times G tel que (x,y,z) = u+v.
    Ceci est vrai pour tout (x,y,z) \in \mathbb{R}^3. Donc, F et G sont supplémentaires dans E.

    Exercice 2 :

  • On vérifie les trois points :
    F \subset E, par définition.
    – La fonction nulle appartient bien à F.
    – Soient (f,g) \in F^2 et \lambda \in \mathbb{K}. Alors : (\lambda.f + g)(\pi) = \lambda f(\pi) + g(\pi) = 0.
    F est un sous-espace vectoriel de E.
  • On note \mathbbm{1} la fonction constante égale à 1. On a alors G=Vect((\mathbbm{1})). Donc, G est un sous-espace vectoriel de E.
  • Soit f \in E. On procède par analyse-synthèse.
    \mathbf{Analyse :} On suppose qu’il existe h \in F et g \in G tels que f = h + g.
    On sait qu’il existe a \in \mathbb{K} tel que, pour tout x \in \mathbb{R}, g(x)=a.
    Or, h(\pi)=0. Donc, a=f(\pi). D’où pour tout x \in \mathbb{R}, h(x) = f(x)-a = f(x)-f(\pi).
    \mathbf{Synthèse :} On définit les fonctions h et g, pour tout x \in \mathbb{R}, par h(x)=f(x)-f(\pi) et g(x)=f(\pi).
    On a :
    h(x)=f(x)-f(\pi) = 0, donc h \in F;
    g \in G;
    f = h+g.
    Donc, il existe un unique couple (h,g) \in F \times G tel que f = h+g.
    Ceci est vrai pour tout f \in E, donc F et G sont supplémentaires dans E.
    livre maths mpsi vuibert

    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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