Sous-espace vectoriel supplémentaire : exercice corrigé

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 08/07/2022
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Tu cherches un exercice corrigé sur la notion de sous-espaces vectoriels supplémentaires ? Tu es bien tombé car nous t’en proposons même deux ! Grâce à ces exercices, deviens un pro des sous-espaces vectoriels supplémentaires et décroche un 20 sur 20 lors de ta prochaine interro !

Exercices d’application sur les sous-espaces vectoriels supplémentaires

Exercice 1 :

💪 Difficulté : niveau 1/3

On note E=\mathbb{R}^3, F = Vect((1,0,1)) et G = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3, 2x-z = 0\}.
1. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de E.
2. Montrer que F et G sont supplémentaires dans E.

Exercice 2 :

💪 Difficulté : niveau 2/3

E = \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{K}), F = \{f\in\E, f(\pi)=0\} et G l’ensemble des fonctions constantes.
Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de E.

Corrigés des exercices d’application sur les sous-espaces vectoriels supplémentaires

Exercice 1 :

1. Comme F est l’espace vectoriel engendré par la famille ((1,0,1)), c’est un sous-espace vectoriel de E.
On a G\subset\mathbb{R}^3 et on vérifie que (0,0,0)\in G.
Soient (x_1,y_1,z_1)\in G, (x_2,y_2,z_2)\in G et \lambda \in \mathbb{R}.
On a \lambda.(x_1,y_1,z_1) + (x_2,y_2,z_2) = (\lambda x_1 + x_2, \lambda y_1 + y_2, \lambda z_1 + z_2).
De plus, 2(\lambda x_1 + x_2)-(\lambda z_1 + z_2) = \lambda(2x_1 - z_1)+(2x_2 - z_2) = 0.
Donc, \lambda.(x_1,y_1,z_1) + (x_2,y_2,z_2) \in G. Ainsi, G est un sous-espace vectoriel de E.

2. Soit (x,y,z) \in \mathbb{R}^3. On procède par analyse-synthèse.

\mathbf{Analyse :} On suppose qu’il existe (u,v) \in F \times G tel que (x,y,z) = u + v.
Il existe alors \lambda \in \mathbb{R} tel que u = \lambda.(1,0,1) et on note v=(a,b,c) \in G. On a alors :

    \[(x,y,z) = \underbrace{\lambda.(1,0,1)}_{\in F} + \underbrace{(a,b,c)}_{\in G}\]

    \[(x,y,z) = \underbrace{\lambda.(1,0,1)}_{\in F} + \underbrace{(a,b,c)}_{\in G}\]


Or, 2a-c=0, d’où 2x-z=\lambda + 2a - c = \lambda.
Puis, a=x-\lambda = -x+z, b=y et c=-2x+2z.

\mathbf{Synthèse :} On pose u=(2x-z).(1,0,1) et v=(-x+z, y, -2x+2z).
On a :
  • u \in F
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