Sous-espaces vectoriels supplémentaires : exercice corrigé

Tu cherches un exercice corrigé sur la notion de sous-espaces vectoriels supplémentaires ? Tu es bien tombé car nous t’en proposons même deux ! Grâce à ces exercices, deviens un pro des sous-espaces vectoriels supplémentaires et décroche un 20 sur 20 lors de ta prochaine interro !

Exercices d’application sur les sous-espaces vectoriels supplémentaires

Exercice 1 :

💪 Difficulté : niveau 1/3

On note $E=\mathbb{R}^3$ , $F = Vect((1,0,1))$ et $G = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3, 2x-z = 0\}$

.
1. Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels de $E$

.
2. Montrer que $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$

Exercice 2 :

💪 Difficulté : niveau 2/3

$E = \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{K})$ , $F = \{f\in\E, f(\pi)=0\}$ et $G$

l’ensemble des fonctions constantes.
Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de $E$

Corrigés des exercices d’application sur les sous-espaces vectoriels supplémentaires

Exercice 1 :

1. Comme $F$ est l’espace vectoriel engendré par la famille $((1,0,1))$ , c’est un sous-espace vectoriel de $E$

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On a $G\subset\mathbb{R}^3$ et on vérifie que $(0,0,0)\in G$

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Soient $(x_1,y_1,z_1)\in G$ , $(x_2,y_2,z_2)\in G$ et $\lambda \in \mathbb{R}$

.
On a $\lambda.(x_1,y_1,z_1) + (x_2,y_2,z_2) = (\lambda x_1 + x_2, \lambda y_1 + y_2, \lambda z_1 + z_2)$

.
De plus, $2(\lambda x_1 + x_2)-(\lambda z_1 + z_2) = \lambda(2x_1 - z_1)+(2x_2 - z_2) = 0$

.
Donc, $\lambda.(x_1,y_1,z_1) + (x_2,y_2,z_2) \in G$ . Ainsi, $G$ est un sous-espace vectoriel de $E$

.

2. Soit $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$

. On procède par analyse-synthèse.

$\mathbf{Analyse :}$ On suppose qu’il existe $(u,v) \in F \times G$ tel que $(x,y,z) = u + v$

.
Il existe alors $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $u = \lambda.(1,0,1)$ et on note $v=(a,b,c) \in G$

. On a alors :

$(x,y,z) = \underbrace{\lambda.(1,0,1)}_{\in F} + \underbrace{(a,b,c)}_{\in G}$

Or, $2a-c=0$ , d’où $2x-z=\lambda + 2a - c = \lambda$

.
Puis, $a=x-\lambda = -x+z, b=y$ et $c=-2x+2z$

.

$\mathbf{Synthèse :}$ On pose $u=(2x-z).(1,0,1)$ et $v=(-x+z, y, -2x+2z)$

.
On a :

$u \in F$

;

$v \in G$ car $2(-x+z)-(-2x+2z) = 0$

;

$u + v = (x,y,z)$

Donc, il existe un unique couple $(u,v) \in F \times G$ tel que $(x,y,z) = u+v$

.
Ceci est vrai pour tout $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$

. Donc, $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$ .

Exercice 2 :

On vérifie les trois points :
– $F \subset E$

, par définition.
– La fonction nulle appartient bien à $F$

.
– Soient $(f,g) \in F^2$ et $\lambda \in \mathbb{K}$ . Alors : $(\lambda.f + g)(\pi) = \lambda f(\pi) + g(\pi) = 0$

.
$F$ est un sous-espace vectoriel de $E$

On note $\mathbbm{1}$ la fonction constante égale à 1. On a alors $G=Vect((\mathbbm{1}))$ . Donc, $G$ est un sous-espace vectoriel de $E$

Soit $f \in E$

. On procède par analyse-synthèse.
$\mathbf{Analyse :}$ On suppose qu’il existe $h \in F$ et $g \in G$ tels que $f = h + g$

.
On sait qu’il existe $a \in \mathbb{K}$ tel que, pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $g(x)=a$

.
Or, $h(\pi)=0$ . Donc, $a=f(\pi)$ . D’où pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $h(x) = f(x)-a = f(x)-f(\pi)$

.
$\mathbf{Synthèse :}$ On définit les fonctions $h$ et $g$ , pour tout $x \in \mathbb{R}$ , par $h(x)=f(x)-f(\pi)$ et $g(x)=f(\pi)$

.
On a :
– $h(x)=f(x)-f(\pi) = 0$ , donc $h \in F$

;
– $g \in G$

;
– $f = h+g$

.
Donc, il existe un unique couple $(h,g) \in F \times G$ tel que $f = h+g$

.
Ceci est vrai pour tout $f \in E$ , donc $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720