Espace vectoriel : exercices corrigés

Sommaire

Exercices d'application sur les espaces vectoriels
Corrigés des exercices sur les espaces vectoriels

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Exercices d’application sur les espaces vectoriels

Exercice 1 : Espace vectoriel

💪 Difficulté : niveau 1/3

Montrer que les ensembles suivants sont des espaces vectoriels.

1. $E_1 = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3, x=y=z\}$

;
2. $E_2 = \{f \in \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C}), \forall x\in\mathbb{R}, f(x)=f(2x)\}$

;
3. $E_3 = \{u=(u_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}, \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+2}=3nu_{n+1}+n^2u_n\}$

;
4. $E_4 = \{(u_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}, \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0\}$

;
5. $E_5 = \{f \in \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R}), \int_{-1}^1 f(t) \text{d}t = 0 \}$

Exercice 2 : Espace vectoriel

💪 Difficulté : niveau 2/3

Soient $E$

un $\mathbb{K}$

-espace vectoriel et $F$

et $G$

deux sous-espaces vectoriels de $E$

.
Montrer que $F \cup G$

est un sous-espace vectoriel de $E$

si, et seulement si, $F \subset G$

ou $G \subset F$

Corrigés des exercices d’application sur les espaces vectoriels

Exercice 1 :

1. Soit $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$

. Le vecteur $(x,y,z)$

appartient à $E_1$

si, et seulement si, $(x,y,z) = x.(1,1,1)$

. Donc, $E_1 = Vect((1,1,1))$

et $E_1$

est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$

.
Ainsi, $E_1$

est un espace vectoriel.

2. On a $E_2 \subset \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{C})$

et $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{C})$

est un $\mathbb{C}$

-espace vectoriel.
La fonction nulle, notée $\tilde{0}$

, est continue sur $\mathbb{R}$

et vérifie, pour tout $x \in \mathbb{R}$

, $\tilde{0}(x) = 0 = \tilde{0}(2x)$

. Donc, $\tilde{0} \in E_2$

.
Soient $(f,g) \in E_2 \times E_2$

et $\lambda \in \mathbb{C}$

. La fonction $\lambda.f+g$

est continue comme combinaison linéaire de fonctions continues.
De plus, comme $(f,g)\in E_2 \times E_2$

, pour tout $x \in \mathbb{R}$

, on a :

$(\lambda.f+g)(x)=\lambda f(x)+g(x)=\lambda f(2x)+g(2x)=(\lambda.f+g)(2x).$

Donc, $\lambda.f+g \in E_2$

.
D’où, $E_2$

est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{C})$

et est donc un espace vectoriel.

3. On a $E_3 \subset \mathbb{R}^\mathbb{N}$

et $\mathbb{R}^\mathbb{N}$

est un $\mathbb{R}$

-espace vectoriel.
La suite $w=(0)_{n \in \mathbb{N}}$

vérifie, pour tout $n \in \mathbb{N}$

, $w_{n+2} = 0 = 3nw_{n+1} + n^2 w_n$

. Donc, $w \in E_3$

. Soient $(u,v) \in E_3 \times E_3$

et $\lambda \in \mathbb{R}$

.
D’où, $E_3$

est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^\mathbb{N}$

et est donc un espace vectoriel.

4. On a $E_4 \subset \mathbb{R}^\mathbb{N}$

et $\mathbb{R}^\mathbb{N}$

est un espace vectoriel.
La suite nulle converge vers 0, donc, $w \in E_4$

.
Soient $(u,v) \in E_4 \times E_4$

et $\lambda \in \mathbb{R}$

.
La suite $\lambda.u+v$

converge comme combinaison linéaire de suites convergentes et :

$\lim\limits_{n \to +\infty} \lambda u_n + v_n = \lambda \lim\limits_{n \to +\infty} u_n + \lim\limits_{n \to +\infty} \lambda v_n= 0$

Donc, $\lambda.u+v \in E_4$

.
D’où, $E_4$

est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^\mathbb{N}$

et est donc un espace vectoriel.

5. On a $E_5 \subset \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$

et $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$

est un espace vectoriel.
La fonction nulle, notée $\tilde{0}$

, est continue sur $\mathbb{R}$

et vérifie, $\int_{-1}^1 \tilde{0}(t) \text{d}t = 0$

. Donc, $\tilde{0} \in E_5$

.
Soient $(f,g) \in E_5 \times E_5$

et $\lambda \in \mathbb{R}$

. La fonction $\lambda.f+g$

est continue comme combinaison linéaire de fonctions continues.
De plus, par linéarité de l’intégrale, $\int_{-1}^1 \lambda.f+g(t) \text{d}t = \lambda \int_{-1}^1 f(t) \text{d}t + \int_{-1}^1 g(t) \text{d}t = 0$

.
Donc, $\lambda.f+g \in E_5$

.
D’où, $E_5$

est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{C})$

et est donc un espace vectoriel.

Exercice 2 :

On raisonne par double implication.
( $\Leftarrow$

) L’implication réciproque est claire. En effet, si $F \subset G$

ou $G \subset F$

, alors $F \cup G = F$

. Dans les deux cas, $F \cup G$

est un sous-espace vectoriel de $E$

.
( $\Rightarrow$

) Pour l’implication directe, on raisonne par contraposée : on suppose que $F \not\subset G$

et $G \not\subset F$

.
Il existe alors $u \in F$

tel que $u \notin G$

et $v \in G$

tel que $v \notin F$

.
On a $u \in F \cup G$

et $v \in F \cup G$

. Montrons que $u+v \notin F \cup G$

si $u+v \in F$

, alors, comme $F$

est un sous-espace vectoriel de $E$

, $v=(u+v)-u \in F$

, ce qui n’est pas;

si $u+v \in G$

, alors, comme $G$

est un sous-espace vectoriel de $E$

, $u=(u+v)-v \in G$

, ce qui n’est pas.

Donc $u+v \notin F \cup G$

.
On en déduit que $F \cup G$

n’est pas stable par combinaison linéaire et n’est donc pas un sous-espace vectoriel de $E$

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720