Exemple des suites géométriques

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 28/06/2022
exemple des suites géométriques

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Exemple des suites géométriques

Définition : suite géométrique

On appelle suite géométrique toute suite de la forme \left( a q^n \right)_{n \in \mathbb{N}} avec q \in \mathbb{R} et a \in \mathbb{R}.

Proposition

Soit q \in \mathbb{R}. La suite \left( q^n \right)_{n \in \mathbb{N}} \begin{cases} \text{diverge vers}\; + \infty \; \text{si} \; q > 1 \\ \text{converge vers}\; 1 \; \text{si} \; q = 1 \\ \text{converge vers}\; 0 \; \text{si} \; \left| q \right| < 1 \\ \text{diverge sinon} \end{cases}.

Démonstration

  • Une simple étude de fonction permet de montrer que

        \[\forall x > -1, \; \forall n \in \mathbb{N}, \quad \left( 1 + x \right)^n \ge 1 + n x.\]

    Soit q>1. Pour tout n \in \mathbb{N}, on a q^n = \left( 1 + q - 1 \right)^n \ge 1 + n \left( q - 1 \right) \xrightarrow[n \to + \infty]{}+ \infty. Par comparaison, on en déduit que \left( q^n \right)_{n \in \mathbb{N}} diverge vers + \infty.
  • Si q=1, la suite \left( q^n \right)_{n \in \mathbb{N}} est constante égale à 1, donc converge et de limite égale à 1.
  • On suppose que \left| q \right| < 1. Le cas où q=0 est clair car la suite \left( q^n \right)_{n \in \mathbb{N}} stationne sur 0.
    On suppose donc q \neq 0. On a

        \[\forall n \in \mathbb{N}, \quad \left| q^n \right| = \left| q\right |^n = \mathrm{e}^{n \ln \left( \left| q \right| \right)} \xrightarrow[n \to + \infty]{} 0\]

    car \ln \left( \left| q \right| \right) < 0 et car \lim\limits_{u \to - \infty} \mathrm{e}^{u} = 0.
  • Si \left( q^n \right)_{n \in \mathbb{N}} converge vers une limite \ell, alors \left( q^{n+1} \right)_{n \in \mathbb{N}} converge vers q \ell. Par unicité de la limite, \ell vérifie \ell = q \ell, soit \ell = 0, ce qui est exclu car pour tout n \in \mathbb{N}, \left| q^n \right| \ge 1.
    Un raisonnement analogue permet de montrer que la suite \left( q^n \right)_{n \in \mathbb{N}} ne peut pas diverger vers + \infty ou - \infty.
  • Exemple

    La suite \displaystyle{\left(\sum_{k=0}^n \left( \dfrac12 \right)^k \right)_{n \in \mathbb{N}}} converge vers 2 car

        \[\forall n \in \mathbb{N}, \quad \sum_{k=0}^n \left( \dfrac12 \right)^k = \dfrac{1- 1/2^{n+1}}{1- 1/2} \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} 2.\]

    livre maths mpsi vuibert

    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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