Exemple des suites géométriques

Vous étudiez actuellement la notion de suites géométriques ? Grâce à ce cours dédié à l’exemple des suites géométriques, ce sera un jeu d’enfant de maîtriser ces notions grâce à des méthodologies élaborées sur mesure !

Exemple des suites géométriques

Définition : suite géométrique

On appelle suite géométrique toute suite de la forme $\left( a q^n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ avec $q \in \mathbb{R}$ et $a \in \mathbb{R}$

Proposition

Soit $q \in \mathbb{R}$ . La suite $\left( q^n \right)_{n \in \mathbb{N}} \begin{cases} \text{diverge vers}\; + \infty \; \text{si} \; q > 1 \\ \text{converge vers}\; 1 \; \text{si} \; q = 1 \\ \text{converge vers}\; 0 \; \text{si} \; \left| q \right| < 1 \\ \text{diverge sinon} \end{cases}$

Démonstration

Une simple étude de fonction permet de montrer que

$\forall x > -1, \; \forall n \in \mathbb{N}, \quad \left( 1 + x \right)^n \ge 1 + n x.$

Soit $q>1$ . Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on a $q^n = \left( 1 + q - 1 \right)^n \ge 1 + n \left( q - 1 \right) \xrightarrow[n \to + \infty]{}+ \infty$ . Par comparaison, on en déduit que $\left( q^n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ diverge vers $+ \infty$

Si $q=1$ , la suite $\left( q^n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ est constante égale à $1$ , donc converge et de limite égale à $1$

On suppose que $\left| q \right| < 1$ . Le cas où $q=0$ est clair car la suite $\left( q^n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ stationne sur $0$

.
On suppose donc $q \neq 0$

. On a

$\forall n \in \mathbb{N}, \quad \left| q^n \right| = \left| q\right |^n = \mathrm{e}^{n \ln \left( \left| q \right| \right)} \xrightarrow[n \to + \infty]{} 0$

car $\ln \left( \left| q \right| \right) < 0$ et car $\lim\limits_{u \to - \infty} \mathrm{e}^{u} = 0$

Si $\left( q^n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers une limite $\ell$ , alors $\left( q^{n+1} \right)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $q \ell$ . Par unicité de la limite, $\ell$

vérifie $\ell = q \ell$ , soit $\ell = 0$ , ce qui est exclu car pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $\left| q^n \right| \ge 1$

.
Un raisonnement analogue permet de montrer que la suite $\left( q^n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ ne peut pas diverger vers $+ \infty$ ou $- \infty$

Exemple

La suite $\displaystyle{\left(\sum_{k=0}^n \left( \dfrac12 \right)^k \right)_{n \in \mathbb{N}}}$ converge vers $2$

car

$\forall n \in \mathbb{N}, \quad \sum_{k=0}^n \left( \dfrac12 \right)^k = \dfrac{1- 1/2^{n+1}}{1- 1/2} \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} 2.$

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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