Exemple des suites géométriques

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 28/06/2022
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Exemple des suites géométriques

Définition : suite géométrique

On appelle suite géométrique toute suite de la forme \left( a q^n \right)_{n \in \mathbb{N}} avec q \in \mathbb{R} et a \in \mathbb{R}.

Proposition

Soit q \in \mathbb{R}. La suite \left( q^n \right)_{n \in \mathbb{N}} \begin{cases} \text{diverge vers}\; + \infty \; \text{si} \; q > 1 \\ \text{converge vers}\; 1 \; \text{si} \; q = 1 \\ \text{converge vers}\; 0 \; \text{si} \; \left| q \right| < 1 \\ \text{diverge sinon} \end{cases}.

Démonstration

  • Une simple étude de fonction permet de montrer que

        \[\forall x > -1, \; \forall n \in \mathbb{N}, \quad \left( 1 + x \right)^n \ge 1 + n x.\]

        \[\forall x > -1, \; \forall n \in \mathbb{N}, \quad \left( 1 + x \right)^n \ge 1 + n x.\]

    Soit q>1. Pour tout n \in \mathbb{N}, on a q^n = \left( 1 + q - 1 \right)^n \ge 1 + n \left( q - 1 \right) \xrightarrow[n \to + \infty]{}+ \infty. Par comparaison, on en déduit que \left( q^n \right)_{n \in \mathbb{N}} diverge vers + \infty.
  • Si q=1, la suite \left( q^n \right)_{n \in \mathbb{N}} est constante égale à 1, donc converge et de limite égale à 1
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