Vous étudiez actuellement l’analyse asymptotique en filière MPSI ? Grâce à ce cours dédié à la notion Comprendre l’analyse asymptotique en MPSI, vous allez pouvoir maîtriser cette notion grâce à des méthodologies élaborées sur mesure !
Relation de comparaison : cas des fonctions
On suppose que est un intervalle de non vide et non réduit à un point. On considère un point ou une extrémité (finie ou infinie) de .
Dans toute cette partie, désigne ou . De plus, dans le cas où et , on suppose les fonctions continues en .
Définition : Relation de domination de l’analyse asymptotique
Soient et des fonctions. On suppose que ne s’annule pas au voisinage de , sauf éventuellement en .
On dit que est dominée par au voisinage de lorsque la fonction est bornée au voisinage de .
Dans ce cas, on note et on lit « est un grand O de au voisinage de ».
Remarques
On suppose que et que .
Lorsque ne s’annule pas en (resp. s’annule en ), la fonction est définie en (resp. n’est pas définie en ).
Soit . Si , alors .
On a si, et seulement si, est bornée au voisinage de .
Plus généralement, pour tout , on a si, et seulement si, est bornée au voisinage de .
Exemple
La fonction est bornée, donc .
Définition : Relation de négligeabilité de l’analyse asymptotique
Soient et . On suppose que ne s’annule pas au voisinage de , sauf éventuellement en .
On dit que est négligeable devant au voisinage de lorsque .
Dans ce cas, on note et on lit « est un petit o de au voisinage de ».
Remarques
On suppose que et que .
Lorsque ne s’annule pas en (resp. s’annule en ), la fonction est définie en (resp. n’est pas définie en ).
Soit . Si , alors .
On a si, et seulement si, .
Plus généralement, pour tout , on a si, et seulement si, .
Exemples
Par croissances comparées, on a .
Soient . Si , alors , et
Attention !
La notation n’est pas une égalité entre fonctions. En particulier, il ne faut pas écrire : si et , alors . C’est faux !
Cette remarque est également vraie pour .
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