Comprendre l’analyse asymptotique en MPSI

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 22/06/2022
comprendre l'analyse asymptotique en MPSI

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Relation de comparaison : cas des fonctions

On suppose que I est un intervalle de \mathbb{R} non vide et non réduit à un point. On considère a un point ou une extrémité (finie ou infinie) de I.
Dans toute cette partie, X désigne I ou I\setminus\{a\}. De plus, dans le cas où X=I et a\in I, on suppose les fonctions continues en a.

Définition : Relation de domination de l’analyse asymptotique

Soient f:X\to \mathbb{K} et g:X\to \mathbb{K} des fonctions. On suppose que g ne s’annule pas au voisinage de a, sauf éventuellement en a.
On dit que f est dominée par g au voisinage de a lorsque la fonction \frac{f}{g} est bornée au voisinage de a.
Dans ce cas, on note f(x)\underset{x\to a}{=} O\big(g(x)\big) et on lit « f est un grand O de g au voisinage de a ».

Remarques

  • On suppose que X=I et que a\in I. Lorsque g ne s’annule pas en a (resp. s’annule en a), la fonction \dfrac{f}{g} est définie en a (resp. n’est pas définie en a).
  • Soit \lambda\in\mathbb{R}^*. Si f(x)\underset{x\to a}{=} O\big(\lambda g(x)\big), alors f(x)\underset{x\to a}{=} O\big(g(x)\big).
  • On a f(x)\underset{x\to a}{=} O\big(1\big) si, et seulement si, f est bornée au voisinage de a.
    Plus généralement, pour tout c\in\mathbb{R}^*, on a f(x)\underset{x\to a}{=} O\big(c\big) si, et seulement si, f est bornée au voisinage de a.
  • Exemple

    La fonction \sin est bornée, donc x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right)\underset{x\to0}{=}O(x^2).

    Définition : Relation de négligeabilité de l’analyse asymptotique

    Soient f:X\to \mathbb{K} et g:X\to \mathbb{K}. On suppose que g ne s’annule pas au voisinage de a, sauf éventuellement en a.
    On dit que f est négligeable devant g au voisinage de a lorsque \dfrac{f(x)}{g(x)}\xrightarrow[x\to a]{} 0.
    Dans ce cas, on note f(x)\underset{x\to a}{=} o\big(g(x)\big) et on lit « f est un petit o de g au voisinage de a ».

    Remarques

  • On suppose que X=I et que a\in I. Lorsque g ne s’annule pas en a (resp. s’annule en a), la fonction \frac{f}{g} est définie en a (resp. n’est pas définie en a).
  • Soit \lambda\in\mathbb{R}^*. Si f(x)\underset{x\to a}{=} o\big(\lambda g(x)\big), alors f(x)\underset{x\to a}{=} o\big(g(x)\big).
  • On a f(x)\underset{x\to a}{=} o\big(1\big) si, et seulement si, f(x)\xrightarrow[x\to a]{}0.
    Plus généralement, pour tout c\in\mathbb{R}^*, on a f(x)\underset{x\to a}{=} o\big(c\big) si, et seulement si, f(x)\xrightarrow[x\to a]{}0.
  • Exemples

  • Par croissances comparées, on a \ln(x)\underset{x\to+\infty}{=}o(x).
  • Soient (p,q)\in\mathbb{N} ^2. Si p<q, alors x^p \underset{x\to +\infty}{=} o(x^q), x^p \underset{x\to -\infty}{=} o(x^q) et x^q \underset{x\to 0}{=} o(x^p)
  • Attention !

    La notation f(x)\underset{x\to a}{=} O\big(g(x)\big) n’est pas une égalité entre fonctions. En particulier, il ne faut pas écrire : si f_1(x)\underset{x\to a}{=} O\big(g(x)\big) et f_2(x)\underset{x\to a}{=} O\big(g(x)\big), alors f_1(x)=f_2(x). C’est faux !
    Cette remarque est également vraie pour f(x)\underset{x\to a}{=} o\big(g(x)\big).

    Théorème : Croissances comparées

    Soit \alpha\in\mathbb{R}_+^* et \beta \in\mathbb{R}_+^*.
    On a :
  • \big(\ln(x)\big)^\beta \underset{x\to +\infty}{=}o(x^{\alpha}) et x^\beta \underset{x\to +\infty}{=}o(e^{\alpha x}).
  • \displaystyle \big(|\ln(x)|\big)^\beta \underset{x\to 0^+}{=}o\left(\dfrac{1}{x^{\alpha}}\right).
  • on suppose de plus \alpha\in\mathbb{N} : \displaystyle e^{\beta x} \underset{x\to -\infty}{=}o\left(\frac{1}{x^{\alpha}}\right).
  • livre maths mpsi vuibert

    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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