Comprendre l'analyse asymptotique en MPSI

Vous étudiez actuellement l’analyse asymptotique en filière MPSI ? Grâce à ce cours dédié à la notion Comprendre l’analyse asymptotique en MPSI, vous allez pouvoir maîtriser cette notion grâce à des méthodologies élaborées sur mesure !

Relation de comparaison : cas des fonctions

On suppose que $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$ non vide et non réduit à un point. On considère $a$ un point ou une extrémité (finie ou infinie) de $I$

.
Dans toute cette partie, $X$ désigne $I$ ou $I\setminus\{a\}$ . De plus, dans le cas où $X=I$ et $a\in I$ , on suppose les fonctions continues en $a$

Définition : Relation de domination de l’analyse asymptotique

Soient $f:X\to \mathbb{K}$ et $g:X\to \mathbb{K}$ des fonctions. On suppose que $g$ ne s’annule pas au voisinage de $a$ , sauf éventuellement en $a$

.
On dit que $f$ est dominée par $g$ au voisinage de $a$ lorsque la fonction $\frac{f}{g}$ est bornée au voisinage de $a$

.
Dans ce cas, on note $f(x)\underset{x\to a}{=} O\big(g(x)\big)$ et on lit « $f$ est un grand O de $g$ au voisinage de $a$

».

Remarques

On suppose que $X=I$ et que $a\in I$

. Lorsque $g$ ne s’annule pas en $a$ (resp. s’annule en $a$ ), la fonction $\dfrac{f}{g}$ est définie en $a$ (resp. n’est pas définie en $a$

Soit $\lambda\in\mathbb{R}^*$ . Si $f(x)\underset{x\to a}{=} O\big(\lambda g(x)\big)$ , alors $f(x)\underset{x\to a}{=} O\big(g(x)\big)$

On a $f(x)\underset{x\to a}{=} O\big(1\big)$ si, et seulement si, $f$ est bornée au voisinage de $a$

.
Plus généralement, pour tout $c\in\mathbb{R}^*$ , on a $f(x)\underset{x\to a}{=} O\big(c\big)$ si, et seulement si, $f$ est bornée au voisinage de $a$

Exemple

La fonction $\sin$ est bornée, donc $x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right)\underset{x\to0}{=}O(x^2)$

Définition : Relation de négligeabilité de l’analyse asymptotique

Soient $f:X\to \mathbb{K}$ et $g:X\to \mathbb{K}$ . On suppose que $g$ ne s’annule pas au voisinage de $a$ , sauf éventuellement en $a$

.
On dit que $f$ est négligeable devant $g$ au voisinage de $a$ lorsque $\dfrac{f(x)}{g(x)}\xrightarrow[x\to a]{} 0$

.
Dans ce cas, on note $f(x)\underset{x\to a}{=} o\big(g(x)\big)$ et on lit « $f$ est un petit o de $g$ au voisinage de $a$

et on lit « $f$ est un petit o de $g$ au voisinage de $a$ ».

Remarques

On suppose que $X=I$ et que $a\in I$

. Lorsque $g$ ne s’annule pas en $a$ (resp. s’annule en $a$ ), la fonction $\frac{f}{g}$ est définie en $a$ (resp. n’est pas définie en $a$

Soit $\lambda\in\mathbb{R}^*$ . Si $f(x)\underset{x\to a}{=} o\big(\lambda g(x)\big)$ , alors $f(x)\underset{x\to a}{=} o\big(g(x)\big)$

On a $f(x)\underset{x\to a}{=} o\big(1\big)$ si, et seulement si, $f(x)\xrightarrow[x\to a]{}0$

.
Plus généralement, pour tout $c\in\mathbb{R}^*$ , on a $f(x)\underset{x\to a}{=} o\big(c\big)$ si, et seulement si, $f(x)\xrightarrow[x\to a]{}0$

Exemples

Par croissances comparées, on a $\ln(x)\underset{x\to+\infty}{=}o(x)$

Soient $(p,q)\in\mathbb{N} ^2$ . Si $p<q$ , alors $x^p \underset{x\to +\infty}{=} o(x^q)$ , $x^p \underset{x\to -\infty}{=} o(x^q)$ et $x^q \underset{x\to 0}{=} o(x^p)$

Attention !

La notation $f(x)\underset{x\to a}{=} O\big(g(x)\big)$ n’est pas une égalité entre fonctions. En particulier, il ne faut pas écrire : si $f_1(x)\underset{x\to a}{=} O\big(g(x)\big)$ et $f_2(x)\underset{x\to a}{=} O\big(g(x)\big)$ , alors $f_1(x)=f_2(x)$

. C’est faux !
Cette remarque est également vraie pour $f(x)\underset{x\to a}{=} o\big(g(x)\big)$

Théorème : Croissances comparées

Soit $\alpha\in\mathbb{R}_+^*$ et $\beta \in\mathbb{R}_+^*$

.
On a :

$\big(\ln(x)\big)^\beta \underset{x\to +\infty}{=}o(x^{\alpha})$ et $x^\beta \underset{x\to +\infty}{=}o(e^{\alpha x})$

$\displaystyle \big(|\ln(x)|\big)^\beta \underset{x\to 0^+}{=}o\left(\dfrac{1}{x^{\alpha}}\right)$

on suppose de plus $\alpha\in\mathbb{N}$ : $\displaystyle e^{\beta x} \underset{x\to -\infty}{=}o\left(\frac{1}{x^{\alpha}}\right)$

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720