Structures algébriques exercices corrigés

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 28/04/2022
structures algébriques

Tu connais ton cours sur les structures algébriques ? Tu cherches désormais des exercices corrigés pour t’entraîner et vérifier que tu as bien compris cette notion de mathématiques ? Tu trouveras tout ce dont tu as besoin juste ici, continue de lire !

Exercice d’application sur les structures algébriques :

⏰ Durée : 20 min

💪 Difficulté : 1/3

Soit (G,\cdot) un groupe. Pour tout y \in\ G, on pose \tau_y : x \in\ G \mapsto yxy^{-1}. 1. Que dire de \tau_y lorsque G est abélien ? 2. Montrer que pour tout y \in\ G, \tau_y est un automorphisme de groupes. 3. On note Int(G) = \{ \tau_y, y \in\ G \}. Montrer que (Int(G),\circ) est un groupe.

Corrigé de l’exercice d’application sur les structures algébriques

1. Si G est abélien, alors \tau_y = id_G. 2.
  • Soit y \in\ G. Soit (x_1,x_2) \in\ G^2. On a :
  •     \[    $\tau_y(x_1x_2) = yx_1x_2y^{-1} = yx_1y^{-1}yx_2y^{-1} = \tau_y(x_1)\tau_y(x_2)$. \]

    On a montré que \tau_y est un morphisme de groupe.
  • Soit y \in\ G. Soit z \in\ G. On a :
  •     \[    $\forall x \in\ G$, $z=\tau_y(x) \Longleftrightarrow z=yxy^{-1} \Longleftrightarrow x=y^{-1}zy$. \]

    On en déduit que z admet un unique antécédent par \tau_y , ainsi \tau_y est bijective. On a montré que \tau_y est un automorphisme de groupe et (\tau_y)^{-1} = \tau_{y^{-1}}. On a montré que Int(G) est un sous-groupe de l’ensemble des bijections de G sur G, donc c’est un groupe. 3. Il est clair que Id_G \in\ Int(G). Soit (y_1,y_2) \in\ G^2. Montrons que \tau_{y_{1}} \circ \tau_{y_{2}} \in\ Aut(G). Pour tout x \in\ G, on a :

        \[    $(\tau_{y_{1}} \circ \tau_{y_{2}}^{-1})(x) = (\tau_{y_{1}} \circ \tau_{{y_{2}}^{-1}})(x) = y_1y_2^{-1}xy_2y_1^{-1} = y_1y_2^{-1}x(y_1y_2^{-1})^{-1} = \tau_{y_1y_2^{-1}}(x)$. \]

    Ainsi, \tau_{y_{1}} \circ \tau_{y_{2}}^{-1} = \tau_{y_1y_2^{-1}}} \in\ Int(G).
    livre maths mpsi vuibert

    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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