Convergence des séries numériques : exercice corrigé

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 08/06/2022
convergence des séries numériques

En galère sur un exercice de convergence des séries numériques ? Obtiens des méthodologies complètes et adaptées grâce à cet article dédié à la notion : convergence des séries numériques exercice corrigé. Ainsi, tu pourras désormais partir confiant lors de tes prochaines interrogations sur cette même notion !

Exercice 1 : Convergence des séries numériques

⏰ Durée : 20 min

💪 Difficulté : niveau 1/3

1. Montrer que la série \displaystyle{\sum_{n \ge 0} \frac{1}{n!}} converge. On admet que \displaystyle{\sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{1}{n!} = \mathrm{e}}.
2. Montrer que pour tout polynôme P \in \mathbb{R} \left[ X \right], la série \displaystyle{\sum_{n \ge 0}  \frac{P \left(  n \right)}{n!}} converge. On note S \left( P \right) sa somme.
3. Calculer S \left( X + 1 \right) et S \left( X^2 \right).

Corrigé de l’exercice 1 : Convergence des séries numériques

1. Par croissances comparées, on a \dfrac{1}{n!}  \underset{n \to + \infty}{=} o \left( \dfrac{1}{n^2} \right). Or, la s\’erie \displaystyle{\sum_{n \ge 1} \frac{1}{n^2}} converge (série de Riemann), par négligeabilité, la série \displaystyle{\sum_{n \ge 0} \dfrac{1}{n!}} converge.
2. Comme un polynôme est combinaison linéaire de monômes, il suffit de montrer que pour tout monôme X^k, la série \displaystyle{\sum_{n \ge 0} \frac{n^k}{n!}} converge. Or, n^k \underset{n \to + \infty}{\sim} \dfrac{n!}{\left( n -  k \right)!}, ainsi \dfrac{n^k}{n!} \underset{n \to + \infty}{\sim} \dfrac{1}{\left( n -  k \right)!}. Or, la série \displaystyle{\sum_{n \ge k} \frac{1}{\left( n - k \right)!}} converge, par équivalence des séries à termes positifs, la série \displaystyle{\sum_{n \ge 0} \dfrac{n^k}{n!}} converge.
3. Par relation de Chasles, on a :

    \begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{+ \infty} \dfrac{n+1}{n!} &=& \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{n}{n!} + \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{1}{n!} \\ &=& \sum_{n=1}^{+ \infty} \dfrac{1}{\left( n - 1 \right)!} + \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{1}{n!} \\ &=& \sum_{k=0}^{+ \infty} \frac{1}{k!}+ \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{1}{n!} \\ &=& 2 \mathrm{e}. \end{eqnarray*}

  • On commence par remarquer que pour tout n \in \mathbb{N}, n^2 = n \left( n - 1 \right) + n. Ainsi :

        \begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{+ \infty} \dfrac{n^2}{n!} &=& \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{n\left( n - 1 \right)}{n!} + \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{n}{n!} \\ &=& \sum_{n=2}^{+ \infty} \dfrac{1}{\left( n - 2 \right)!} + \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{1}{\left(n - 1 \right)!} \\ &=& \sum_{k=0}^{+ \infty} \frac{1}{k!}+ \sum_{j=0}^{+ \infty} \frac{1}{j!} \\ &=& 2 \mathrm{e}. \end{eqnarray*}

  • livre maths mpsi vuibert

    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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