Le corps des nombres complexes

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 29/05/2022
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Vous travaillez actuellement sur la théorie du corps des nombres complexes ? Grâce à ce cours dédié au corps des nombres complexes, cette notion n’aura bientôt plus aucun secret pour vous ! Vous allez donc pouvoir tout déchirer à vos prochaines interrogations écrites et orales !

Le corps des nombres complexes

Quelques prérequis

Rappel

On appelle produit cartésien de deux ensembles A et B l’ensemble, noté A\times B, des couples (a,b)a\in A et b\in B.

Définition : Loi de composition interne

Soit E un ensemble. On appelle loi de composition interne une application de E\times E dans E :

    \[\varphi:\begin{array}[t]{ccc}              E\times E & \to & E \\              (x,y) & \mapsto & x\star y.            \end{array}.\]

    \[\varphi:\begin{array}[t]{ccc}              E\times E & \to & E \\              (x,y) & \mapsto & x\star y.            \end{array}.\]

Construction du corps des complexes

Définition

Nous appellerons corps des nombres complexes, noté \C, l’ensemble \mathbb{R}^2 muni de deux lois internes \oplus et \otimes, définies pour tout (a,b)\in\mathbb{R}^2, (a',b')\in\mathbb{R}^2 par :

    \[(a,b)\oplus (a',b')= (a+a',b+b'),\]

    \[(a,b)\oplus (a',b')= (a+a',b+b'),\]

    \[(a,b)\otimes (a',b')= (aa'-bb',ab'+a'b) .\]

    \[(a,b)\otimes (a',b')= (aa'-bb',ab'+a'b) .\]

Remarques

  • En vue de simplifier les écritures, dans la suite, nous noterons + et \times (notations habituelles) les lois de composition interne \oplus et \otimes
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