Le corps des nombres complexes

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 29/05/2022
corps des nombres complexes

Vous travaillez actuellement sur la théorie du corps des nombres complexes ? Grâce à ce cours dédié au corps des nombres complexes, cette notion n’aura bientôt plus aucun secret pour vous ! Vous allez donc pouvoir tout déchirer à vos prochaines interrogations écrites et orales !

Le corps des nombres complexes

Quelques prérequis

Rappel

On appelle produit cartésien de deux ensembles A et B l’ensemble, noté A\times B, des couples (a,b)a\in A et b\in B.

Définition : Loi de composition interne

Soit E un ensemble. On appelle loi de composition interne une application de E\times E dans E :

    \[\varphi:\begin{array}[t]{ccc}              E\times E & \to & E \\              (x,y) & \mapsto & x\star y.            \end{array}.\]

Construction du corps des complexes

Définition

Nous appellerons corps des nombres complexes, noté \C, l’ensemble \mathbb{R}^2 muni de deux lois internes \oplus et \otimes, définies pour tout (a,b)\in\mathbb{R}^2, (a',b')\in\mathbb{R}^2 par :

    \[(a,b)\oplus (a',b')= (a+a',b+b'),\]

    \[(a,b)\otimes (a',b')= (aa'-bb',ab'+a'b) .\]

Remarques

  • En vue de simplifier les écritures, dans la suite, nous noterons + et \times (notations habituelles) les lois de composition interne \oplus et \otimes.
  • La notion de corps sera vue ultérieurement.
  • Pour tout nombre réel a, nous identifions le nombre complexe (a,0) avec le réel a, et \i le nombre complexe (0,1). En utilisant cette notation et la définition de l’addition et de la multiplication dans \C définies ci-dessus, on peut écrire pour tout nombre complexe (a,b) : (a,b)=a+\i b.
    Le signe égal ici est un abus de notation. Dans la suite, nous noterons un nombre complexe a+\i b, c’est ce que l’on appelle la notation algébrique d’un nombre complexe. Avec cette notation, on notera classiquement \oplus avec le signe + et \otimes avec \times.
  • Proposition

    Le nombre complexe \i vérifie \i^2=-1.

    Démonstration

    On a :

        \[\i^2=(0,1)\otimes (0,1)=(0\times 0-1\times 1, 0\times 1+1\times 0)=(-1,0)=-1.\]

    livre maths mpsi vuibert

    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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