Qu’est-ce qu’un espace vectoriel ?

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 08/07/2022
définition d'un espace vectoriel

Si tu cherches la définition d’un espace vectoriel, c’est ici ! Tu trouveras également des propositions mathématiques de base ainsi que des conseils méthodologiques pour réussir ta prochaine interro à coup sûr. Grâce à ce cours, apprends tout ce qu’il y a à savoir sur l’espace vectoriel !

NB : Dans tout le chapitre, \mathbb{K} désigne le corps \mathbb{R} ou \mathbb{C}.

📍Définition : Espace vectoriel

Soit E ensemble muni :
  • d’une loi de composition interne notée « + » : c’est-à-dire, une application :

        \[E \times E \rightarrow E\]

        \[(u,v) \mapsto u+v\]

    Cette loi est aussi appelée addition.
  • d’une loi externe notée « . » : c’est-à-dire, une application :

        \[\mathbb{K} \times E \rightarrow E\]

        \[(\lambda,u) \mapsto \lambda.u.\]

    Cette loi est aussi appelée multiplication par un scalaire.

  • On dit que (E,+,.) est un \mathbb{K}-espace vectoriel (ou \mathbb{K}-ev) lorsque :
  • (E,+) est un groupe abélien.
  • La loi « . » est distributive par rapport à l’addition de E :

        \[\forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall (u,v) \in E^2, \lambda.(u+v) = \lambda.u + \lambda.v.\]

  • la loi « . » est distributive par rapport à l’addition de \mathbb{K} :

        \[\forall (\lambda,\mu) \in \mathbb{K}^2, \forall u\in E, (\lambda+\mu.u) = \lambda.u + \mu.u.\]

  • Pour tout (\lambda,\mu) \in \mathbb{K}^2 et u\in E, on a : (\lambda\times\mu).u = \lambda.(\mu.u).
  • 1 vérifie : \forall u \in E, 1.u = u.
  • 📍Définition :

    Les éléments de E sont appelés vecteurs et les éléments de \mathbb{K} sont appelés scalaires.

    Remarques :

  • Pour alléger les notations, on écrit parfois E au lieu de (E,+,.), et, s’il n’y a pas d’ambiguïté sur le corps \mathbb{K}, on dit que E est un espace vectoriel.
  • L’élément neutre pour la loi + est noté 0_E et est appelé vecteur\:nul.
  • Par définition, (E,+) est un groupe. Pour tout x \in E, il existe donc un unique vecteur x' \in E tel que x+x' = x'+x = 0_E. On note x' = -x et on dit que x' est l'opposé du vecteur x (pour la loi +).
  • Pour x et y deux vecteurs, on note x-y = x+(-y).
  • Exemple :

    L’ensemble \mathbb{R}^2 des couples (x_1,x_2) de réels x_1 et x_2 est muni des opérations suivantes : pour tous vecteurs (x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 et (y_1,y_2) \in \mathbb{R}^2, et tout scalaire \lambda \in \mathbb{R},

        \[(x_1,x_2) + (y_1,y_2) = (x_1+y_1,x_2+y_2)\enspace et\enspace \lambda.(x_1,x_2) = (\lambda x_1,\lambda x_2).\]

    On vérifie alors que (\mathbb{R}^2,+,.) est un \mathbb{R}-espace vectoriel et que son vecteur nul est = 0_{\mathbb{R}^2} = (0,0).

    💡Conseils méthodologiques :

    La notion d’espace vectoriel est une notion abstraite. Pour se l’approprier et comprendre les concepts, on s’appuie largement sur des illustrations dans \mathbb{R}^2, ou dans \mathbb{R}^3.

    Exemple :

    Le schéma suivant illustre l’associativité de l’addition de E.

    Le schéma suivant illustre la distributivité de la multiplication externe par rapport à l’addition de E.

    ☝️Proposition :

    Démonstration :

    Soit (E,+,.) un \mathbb{K}-espace vectoriel. Pour tous u\in E et \lambda \in \mathbb{K}, on a :
  • 0.u = 0_E ;
  • \lambda.0_E = 0_E ;
  • (-\lambda).u = \lambda.(-u) = -\lambda.u ;
  • \lambda.u = 0_E si, et seulement si, \lambda = 0 ou u=0_E.
  • Par distributivité, on a : 0.u = (0+0).u = 0.u + 0.u. Donc, en ajoutant -0.u de part et d’autre de l’égalité, il vient 0.u = 0_E.
  • Par distributivité, on a : \lambda.0_E = \lambda.(0_E+0_E) = \lambda.0_E + \lambda.0_E. Donc, en ajoutant -\lambda.0_E de part et d’autre de l’égalité, il vient \lambda.0_E = 0_E.
  • On a : (-\lambda).u + \lambda.u = (-\lambda + \lambda).u = 0.u = 0_E. Donc, par unicité de l’opposé, (-\lambda).u = -\lambda.u.
    L’égalité \lambda.(-u) = \lambda.u se montre de la même manière.
  • L’implication réciproque est une conséquence des deux premiers points.
    Montrons l’implication directe. On suppose que \lambda.u = 0_E.
    – Cas 1 : \lambda = 0. Il n’y a rien à faire.
    – Cas 2 : \lambda \ne 0. On a u = \frac{\lambda}{\lambda}.u = \frac{1}{\lambda}.(\lambda.u) = \frac{1}{\lambda}.0_E. Donc, u=0_E.
    livre maths mpsi vuibert

    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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