Si tu cherches la définition d’un espace vectoriel, c’est ici ! Tu trouveras également des propositions mathématiques de base ainsi que des conseils méthodologiques pour réussir ta prochaine interro à coup sûr. Grâce à ce cours, apprends tout ce qu’il y a à savoir sur l’espace vectoriel !
NB : Dans tout le chapitre, désigne le corps ou .
📍Définition : Espace vectoriel
Soit ensemble muni :
d’une loi de composition interne notée « + » : c’est-à-dire, une application :
Cette loi est aussi appelée addition.
d’une loi externe notée « . » : c’est-à-dire, une application :
Cette loi est aussi appelée multiplication par un scalaire.
On dit que (,+,.) est un -espace vectoriel (ou -ev) lorsque :
(,+) est un groupe abélien.
La loi « . » est distributive par rapport à l’addition de :
la loi « . » est distributive par rapport à l’addition de :
Pour tout et , on a : .
1 vérifie : , .
📍Définition:
Les éléments de sont appelés vecteurs et les éléments de sont appelés scalaires.
Remarques :
Pour alléger les notations, on écrit parfois au lieu de (,+,.), et, s’il n’y a pas d’ambiguïté sur le corps , on dit que est un espace vectoriel.
L’élément neutre pour la loi + est noté et est appelé .
Par définition, (,+) est un groupe. Pour tout , il existe donc un unique vecteur tel que . On note et on dit que est du vecteur (pour la loi +).
Pour x et y deux vecteurs, on note .
Exemple :
L’ensemble des couples de réels et est muni des opérations suivantes : pour tous vecteurs et , et tout scalaire ,
On vérifie alors que est un -espace vectoriel et que son vecteur nul est = .
💡Conseils méthodologiques :
La notion d’espace vectoriel est une notion abstraite. Pour se l’approprier et comprendre les concepts, on s’appuie largement sur des illustrations dans , ou dans .
Exemple:
Le schéma suivant illustre l’associativité de l’addition de .
Le schéma suivant illustre la distributivité de la multiplication externe par rapport à l’addition de .
☝️Proposition :
Démonstration :
Soit (,+,.) un -espace vectoriel. Pour tous et , on a :
;
;
;
si, et seulement si, ou .
Par distributivité, on a : . Donc, en ajoutant de part et d’autre de l’égalité, il vient .
Par distributivité, on a : . Donc, en ajoutant de part et d’autre de l’égalité, il vient .
On a : . Donc, par unicité de l’opposé, .
L’égalité se montre de la même manière.
L’implication réciproque est une conséquence des deux premiers points.
Montrons l’implication directe. On suppose que .
– Cas 1 : . Il n’y a rien à faire.
– Cas 2 : . On a . Donc, .
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