Qu’est-ce qu’un espace vectoriel ?

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 08/07/2022
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Si tu cherches la définition d’un espace vectoriel, c’est ici ! Tu trouveras également des propositions mathématiques de base ainsi que des conseils méthodologiques pour réussir ta prochaine interro à coup sûr. Grâce à ce cours, apprends tout ce qu’il y a à savoir sur l’espace vectoriel !

NB : Dans tout le chapitre, \mathbb{K} désigne le corps \mathbb{R} ou \mathbb{C}.

📍Définition : Espace vectoriel

Soit E ensemble muni :
  • d’une loi de composition interne notée « + » : c’est-à-dire, une application :

        \[E \times E \rightarrow E\]

        \[E \times E \rightarrow E\]

        \[(u,v) \mapsto u+v\]

        \[(u,v) \mapsto u+v\]

    Cette loi est aussi appelée addition.
  • d’une loi externe notée « . » : c’est-à-dire, une application :

        \[\mathbb{K} \times E \rightarrow E\]

        \[\mathbb{K} \times E \rightarrow E\]

        \[(\lambda,u) \mapsto \lambda.u.\]

        \[(\lambda,u) \mapsto \lambda.u.\]

    Cette loi est aussi appelée multiplication par un scalaire.

  • On dit que (E,+,.) est un \mathbb{K}-espace vectoriel (ou \mathbb{K}-ev) lorsque :
  • (E,+) est un groupe abélien.
  • La loi « . » est distributive par rapport à l’addition de E :

        \[\forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall (u,v) \in E^2, \lambda.(u+v) = \lambda.u + \lambda.v.\]

        \[\forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall (u,v) \in E^2, \lambda.(u+v) = \lambda.u + \lambda.v.\]

  • la loi « . » est distributive par rapport à l’addition de \mathbb{K}
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