Fiche : l'espace vectoriel de dimension finie

Qu’est-ce qu’un espace vectoriel de dimension finie ? Comment montrer qu’un espace vectoriel est de dimension finie ? Autant de questions auxquelles nous allons répondre dans ce cours de mathématiques sur l’espace vectoriel de dimension finie.

👉 Théorème :

Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension finie non réduit au vecteur nul. Toutes les bases de $E$

ont le même nombre d’éléments.

Démonstration :

Soient $(e_1,...,e_n)$ et $(f_1,..., f_p)$ deux bases de $E$

La famille $(f_1,..., f_p)$ est génératrice de $E$ , donc, la famille libre $(e_1,...,e_n)$ possède au plus $p$ vecteurs. Donc $n \leq p$

De même, la famille $(e_1,...,e_n)$ est génératrice de $E$ et la famille $(f_1,..., f_p)$ est libre, donc $p \leq n$

Ainsi, $n=p$

et les deux bases considérées ont le même nombre d’éléments.

📍Définition : Dimension

Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension finie non réduit au vecteur nul. On appelle dimension de $E$ , et on note $dim_\mathbb{K}(E)$ ou $dim(E)$

, le nombre de vecteurs d’une de ses bases.

Par convention, lorsque $E = \{0_E\}$ , on pose $dim_\mathbb{K}(E) = dim(E) = 0$

💡 Conseils méthodologiques

Pour montrer qu’un espace vectoriel E est de dimension finie et déterminer sa dimension, on détermine une base de E. Par conséquent, E est de dimension finie (en effet, il existe une famille génératrice finie de E) et dim(E) est égale au nombre de vecteurs de la base trouvée.

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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Fiche de cours : l’espace vectoriel de dimension finie

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