Fiche de cours : l’espace vectoriel de dimension finie

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 02/06/2022
espace vectoriel de dimension finie

Qu’est-ce qu’un espace vectoriel de dimension finie ? Comment montrer qu’un espace vectoriel est de dimension finie ? Autant de questions auxquelles nous allons répondre dans ce cours de mathématiques sur l’espace vectoriel de dimension finie.

👉 Théorème :

Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel de dimension finie non réduit au vecteur nul. Toutes les bases de E ont le même nombre d’éléments.

Démonstration :

Soient (e_1,...,e_n) et (f_1,..., f_p) deux bases de E.
  • La famille (f_1,..., f_p) est génératrice de E, donc, la famille libre (e_1,...,e_n) possède au plus p vecteurs. Donc n \leq p.
  • De même, la famille (e_1,...,e_n) est génératrice de E et la famille (f_1,..., f_p) est libre, donc p \leq n.
  • Ainsi, n=p et les deux bases considérées ont le même nombre d’éléments.

    📍Définition : Dimension

  • Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel de dimension finie non réduit au vecteur nul. On appelle dimension de E, et on note dim_\mathbb{K}(E) ou dim(E), le nombre de vecteurs d’une de ses bases.
  • Par convention, lorsque E = \{0_E\}, on pose dim_\mathbb{K}(E) = dim(E) = 0.
  • 💡 Conseils méthodologiques

    Pour montrer qu’un espace vectoriel E est de dimension finie et déterminer sa dimension, on détermine une base de E. Par conséquent, E est de dimension finie (en effet, il existe une famille génératrice finie de E) et dim(E) est égale au nombre de vecteurs de la base trouvée.

    livre maths mpsi vuibert

    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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