Montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 08/06/2022
montrer qu'un ensemble est un espace vectoriel

Pour montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel, il faut vérifier les points de la définition d’espace vectoriel. Tu vas voir, c’est super simple. Après avoir lu ce cours de mathématiques, montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel sera un jeu d’enfant pour toi !

☝️Proposition : 3 conditions à vérifier pour montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel

Soient (E,+,.) un \mathbb{K}-espace vectoriel et F un ensemble.
On a l’équivalence : F est un sous-espace vectoriel de E si, et seulement si :
  • F \subset E.
  • 0_E \in F;
  • pour tout (u,v) \in F \times F et \lambda \in \mathbb{K}, \lambda.u+v \in F.
  • Démonstration :

    (\Rightarrow) On suppose que F est un sous-espace vectoriel de E , donc F est une partie de E.
    Comme F est non vide, il existe u \in F.
    De plus, F est stable par combinaison linéaire, donc 0_E = 0.u \in F.
    Le troisième point est clair car F est stable par combinaison linéaire.
    (\Leftarrow) On suppose que F \subset E, 0_E \in F et que, pour tout (u,v) \in F \times F et \lambda \in \mathbb{K}, \lambda.u+v \in F.
    Comme 0_E \in F, F est non vide.
    On montre par récurrence sur n \in \mathbb{N}^*, \mathcal{H}_n : " si (\lambda_1,...,\lambda_n) \in \mathbb{K}^n et (u_1,...,u_n) \in F^n, alors \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i \in F ".
    \textbf{Initialisation : } pour n=1. Soit \lambda \in \mathbb{K} et u \in \ F. Comme 0_E \in F, le troisième point donne : \lambda.u = \lambda.u + 0_E \in F.
    Donc \mathcal{H}_1 est vraie.
    \textbf{Hérédité : } Soit n \in \mathbb{N}^*. On suppose \mathcal{H}_n vraie et on montre \mathcal{H}_{n+1}.
    Soient (\lambda_1,...,\lambda_n) \in \mathbb{K}^{n+1} et (u_1,...u_{n+1}) \in F^{n+1}. Montrons que \lambda_1.u_1 + ... + \lambda_{n+1}.u_{n+1} \in F.
  • Cas 1 : \lambda_{n+1} = 0. Il suffit d’appliquer directement l’hypothèse de récurrence \mathcal{H}_n.
  • Cas 2 : \lambda_{n+1} \ne 0. On a :

        \[\lambda_1.u_1 + ... + \lambda_{n+1}.u_{n+1} = \lambda_{n+1}.(\underbrace{\frac{\lambda_1}{\lambda_{n+1}}.u_1 + ... + \frac{\lambda_n}{\lambda_{n+1}}.u_n}_{=u} + u_{n+1}).\]

    Or, par hypothèse de récurrence u \in F et u_{n+1} \in F. Par le troisième point, u + u_{n+1} \in F. Puis, par \mathcal{H}_1, \lambda_1.u_1 + ... + \lambda_{n+1}.u_{n+1} = \lambda_{n+1}(u + u_{n+1}) \in F.
  • Par le principe de récurrence, pour tout n \in \mathbb{N}^*, \mathcal{H}_n est vraie.
    Maintenant, si (\lambda_i)_{i \in I} est une famille de scalaires presque nulle et (x_i) \in F^I, en notant n le nombre de scalaire non nul, il suffit de remarquer que \sum_{i \in I} \lambda_i x_i = 0_E \in F lorsque n=0 et, quitte à renommer les scalaires non nuls, il suffit d’appliquer \mathcal{H}_n lorsque n \ne 0.
    Ainsi, F est stable par combinaison linéaire.

    💡Conseils méthodologiques

    • C’est cette proposition qui est utilisée en pratique pour montrer qu’un ensemble est un sous-espace vectoriel.
    • Pour montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel, on montre en général que c’est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel de référence.

    Exemple :

    Soit I un intervalle de \mathbb{R}.
    Montrons que l’ensemble \mathcal{C}(I,\mathbb{K}) des fonctions continues sur I et à valeur dans \mathbb{K} est un sous-espace vectoriel de \mathcal{F}(I,\mathbb{K}).
  • On a l’inclusion \mathcal{C}(I,\mathbb{K}) \subset \mathcal{F}(I,\mathbb{K}).
  • La fonction nulle est continue sur I.
  • Soit (f,g) \in \mathcal{C}(I,\mathbb{K}) \times \mathcal{C}(I,\mathbb{K}) et \lambda \in \mathbb{K}. La fonction \lambda.f+g est continue comme combinaison linéaire de fonctions continues.
  • Donc, \mathcal{C}(I,\mathbb{K}) est un sous-espace vectoriel de \mathcal{F}(I,\mathbb{K}).
    En particulier, muni des opérations de \mathcal{F}(I,\mathbb{K}), \mathcal{C}(I,\mathbb{K}) est un espace vectoriel.

    💡 Conseils méthodologiques

    Soient E un sous-espace vectoriel et F un sous-espace vectoriel de E.
    • On a toujours l’inclusion {0E} ⊂  F. En particulier, pour montrer que F = {0E} il suffit de montrer que F ⊂ {0E}.
    • On a toujours l’inclusion F ⊂  E. En particulier, pour montrer que F = E, il suffit de montrer que E ⊂  F.

    ☝️Proposition :

    Soient E un \mathbb{K}-espace vectoriel et (F_i)_{i \in I} une famille de sous-espaces vectoriels de E indexée par un ensemble non vide I.
    L’intersection \bigcap_{i \in I} F_i est un sous-espace vectoriel de E.

    Démonstration :

    On note F = \bigcap_{i \in I} F_i.
  • Pour tout i \in I, F_i \subset E, donc, F \subset E.
  • Pour tout i \in I, 0_E \in F_i car F_i est un sous-espace vectoriel de E, donc, 0_E \in F.
  • Soient (u,v) \in F \times F et \lambda \in \mathbb{K}.
    Alors, pour tout i \in I, (u,v) \in F_i \times F_i.
    Or, pour tout i \in I, F_i est un sous-espace vectoriel de E, donc \lambda.u+v \in F_i. D’où, \lambda.u+v \in F.
  • Ainsi, F est un sous-espace vectoriel de E .

    🚨 Attention ! 🚨

    En général, l’union de sous-espaces vectoriels n’est pas un sous-espace vectoriel.
    En effet, si on note E = \mathbb{R}^2 et on considère les droites vectorielles F_1 = \{(x,y) \in E, y=0\} et F_2 = \{(x,y) \in E, x=0\}. Ce sont deux sous-espaces vectoriels de E.
    Les vecteurs x_1 = (1,0) et x_2 = (0,1) appartiennent à F_1 \cup F_2 mais x_1 + x_2 = (1,1) \ne F_1 \cup F_2.
    Sous-espaces vectoriels Vuibert

    livre maths mpsi vuibert

    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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