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Calculs de dérivées
Théorème : Calculer la dérivée d’une fonction
Soient
et 
deux fonctions et 
. On suppose que 
et 
sont dérivables en 
. Alors,
, la fonction 
est dérivable en et :
![\[(\lambda.f+\mu.g)'(a)=\lambda f'(a)+\mu g'(a). </li>\]](https://sherpas.com/blog/content/ql-cache/quicklatex.com-ccd44d87f337ba2716bbb934bf49ae46_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
est dérivable en et :
![\[(fg)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a).\]](https://sherpas.com/blog/content/ql-cache/quicklatex.com-6f033909c6e3de8824d92ebb5c2b12d9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Démonstration
Soit. Pour tout 
, on a :
![\[\frac{(\lambda.f+\mu.g)(x)-(\lambda.f+\mu.g)(a)}{x-a} = \lambda\frac{f(x)-f(a)}{x-a}+\mu\frac{g(x)-g(a)}{x-a} \xrightarrow[x\to a]{}\lambda f'(a)+\mu g'(a).\]](https://sherpas.com/blog/content/ql-cache/quicklatex.com-62ac04a427ce8a86b2dbb3b3afb9f3d6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
est dérivable en et 
. De plus, pour tout
, on a :
![\[\frac{(fg)(x)-(fg)(a)}{x-a}=f(x)\frac{g(x)-g(a)}{x-a}+g(a)\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.\]](https://sherpas.com/blog/content/ql-cache/quicklatex.com-9ff1ace858d9b3cd64c829aa352dade1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
est dérivable en , donc est continue en . D’où, par opérations sur les limites,
![\[\frac{(fg)(x)-(fg)(a)}{x-a}\xrightarrow[x\to a]{} f(a)g'(a)+g(a)f'(a).\]](https://sherpas.com/blog/content/ql-cache/quicklatex.com-bd781954a184695a2603b60666949b0d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
est dérivable en et 
Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720
