Comprendre le cardinal d’un ensemble fini

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 28/03/2022
équation diophantienne

Voici un cours qui te permettra de comprendre le cardinal d’un ensemble fini. Tu trouveras toutes les définitions et les propositions indispensables pour assimiler parfaitement cette notion mathématiques. Bientôt le cardinal d’un ensemble fini n’aura plus aucun secret pour toi !

Généralités

Définition d’un ensemble fini / infini

  • Un ensemble E est fini s’il est vide ou s’il existe n\in\mathbb{N}^{*}.
  • Un ensemble non fini est un ensemble infini.
  • Remarque

    Quitte à considérer la bijection réciproque, la définition est équivalente à dire qu’il existe une bijection de E sur [\![1;n]\!].

    Bien qu’intuitive, on admet la proposition suivante.

    Proposition : Cardinal d’un ensemble fini

    Soit E un ensemble fini non vide. Il existe un unique entier naturel n\in\mathbb{N}^{*} tel que E puisse être mis en bijection avec [\![1;n]\!]. Cet unique entier s’appelle le cardinal de E et est noté |E|, card(E) ou encore #E.

    Proposition

    Soient E et F deux ensembles finis. E et F ont le même cardinal si, et seulement si, il existe une bijection de E sur F.

    Conseils méthodologiques 💡

    Cette proposition résume à elle seule tout l’art du dénombrement. Dénombrer un ensemble, c’est trouver une bijection entre un autre ensemble plus facile à dénombrer.

    livre maths mpsi vuibert

    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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