Vous travaillez actuellement sur la théorie du corps des nombres complexes ? Grâce à ce cours dédié au corps des nombres complexes, cette notion n’aura bientôt plus aucun secret pour vous ! Vous allez donc pouvoir tout déchirer à vos prochaines interrogations écrites et orales !
Si la notation algébrique des nombres complexes te semble encore abstraite, décrypte-la avec l’aide d’un prof particulier de maths spécialisé en algèbre pour exceller dans tes études. 📚
Le corps des nombres complexes
Quelques prérequis
Rappel
On appelle produit cartésien de deux ensembles
et 
l’ensemble, noté 
, des couples 
où 
et 
.
Définition : Loi de composition interne
Soit
un ensemble. On appelle loi de composition interne une application de 
dans :
![\[\varphi:\begin{array}[t]{ccc} E\times E & \to & E \\ (x,y) & \mapsto & x\star y. \end{array}.\]](https://sherpas.com/content/ql-cache/quicklatex.com-f02546e8eb0f2d72074ee794d50d9803_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Construction du corps des complexes
Définition
Nous appellerons corps des nombres complexes, noté
, l’ensemble 
muni de deux lois internes 
et 
, définies pour tout 
, 
par :
![\[(a,b)\oplus (a',b')= (a+a',b+b'),\]](https://sherpas.com/content/ql-cache/quicklatex.com-da9338fdf58389570b60aaa99e9aef21_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[(a,b)\otimes (a',b')= (aa'-bb',ab'+a'b) .\]](https://sherpas.com/content/ql-cache/quicklatex.com-06e9242c553b7b87c2071ca97bf06bc6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Remarques
et 
(notations habituelles) les lois de composition interne et . 
sera vue ultérieurement. 
, nous identifions le nombre complexe 
avec le réel , et 
le nombre complexe 
. En utilisant cette notation et la définition de l’addition et de la multiplication dans définies ci-dessus, on peut écrire pour tout nombre complexe : 
Le signe égal ici est un abus de notation. Dans la suite, nous noterons un nombre complexe
, c’est ce que l’on appelle la notation algébrique d’un nombre complexe. Avec cette notation, on notera classiquement avec le signe et avec . Proposition
Le nombre complexe vérifie 
.
Démonstration
On a : ![\[\i^2=(0,1)\otimes (0,1)=(0\times 0-1\times 1, 0\times 1+1\times 0)=(-1,0)=-1.\]](https://sherpas.com/content/ql-cache/quicklatex.com-083411521f2365ec51d51986291a5a8a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720
