Méthode de calculs de primitives

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Méthodes de calculs des primitives

Proposition : Intégration par parties

Soient $u$ et $v$ deux fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ sur un segment $[a,b]$ , alors :

$\int_a^b u'(t)v(t)\mathrm{d}t=\big[u(t)v(t)\big]_a^b-\int_a^b u(t)v'(t)\mathrm{d}t.$

Démonstration

Il suffit d’intégrer la relation $(uv)'=u'v+uv'$ entre $a$ et $b$ .

Exemple

Soit $x\in\mathbb{R}$ . Calculons $\displaystyle I=\int_0^x t e^t\mathrm{d}t$ par intégration par parties : on pose $u'(t)=e^t$ de sorte que $u(t)=e^t$ et $v(t)=t$ . Les fonctions $u$ et $v$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0,x]$ si $x$ est positif (ou $[x,0]$ si $x$ est négatif), par intégration par parties :

$I=\big[te^t\big]_0^x- \int_0^x e^t\mathrm{d}t=xe^x-e^x+1=(x-1)e^x+1.$

Les primitives de $x\mapsto xe^x$ sont donc les fonctions $x\mapsto (x-1)e^x+C$ avec $C\in\mathbb{R}$ .

Proposition : Changement de variable

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $\varphi$ une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a,b ]$ à valeurs dans $I$ . Alors :

$\int_a^b f(\varphi(x))\varphi'(x)\mathrm{d}x=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(y)\mathrm{d}y.$

Démonstration

En utilisant les formules de dérivations (notamment la dérivée d’une composée), on peut montrer que les fonctions $\displaystyle{x\mapsto \int_a^x f(\varphi(t))\varphi'(t)\mathrm{d}t}$ et $\displaystyle{x\mapsto\int_{\varphi(a)}^{\varphi(x)} f(t)\mathrm{d}t}$ sont des primitives de $x\mapsto f(\varphi(x))\varphi'(x)$ sur $[a,b]$ qui s’annulent en $a$ . On en déduit que ces fonctions sont égales.

Exemple

Calculons $\displaystyle I=\int_0^1 \sqrt{1-t^2}\mathrm{d}t$ par changement de variable : on pose $t=\cos(u)$ , alors :

$\sqrt{1-t^2}=\sqrt{1-\cos(u)^2}=|\sin(u)|$ ;

on détermine les nouvelles bornes : lorsque $t=0$ , $u=\dfrac{\pi}{2}$ et lorsque $t=1$ , $u=0$ ;

on calcule l’élément différentiel : $\mathrm{d}t=-\sin(u)\mathrm{d}u$ .

Par changement de variable, on a :

$I=\int_{\pi/2}^0 -|\sin(u)|\sin(u)\mathrm{d}u=\int_0^{\pi/2} \sin(u)^2\mathrm{d}u=\int_0^{\pi/2} \dfrac{1+\cos(2u)}{2}\mathrm{d}u=\dfrac{\pi}{4}.$

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720