Méthode de calculs de primitives

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 22/06/2022
235119

Vous travaillez actuellement sur des calculs de primitives ? Grâce à ce cours dédié à la méthode de calculs de primitives, ces notions n’auront plus aucun secret pour vous grâce à des méthodologies de pointe !

 

Méthodes de calculs des primitives

Proposition : Intégration par parties

Soient u et v deux fonctions de classe \mathcal{C}^1 sur un segment [a,b], alors :

    \[\int_a^b u'(t)v(t)\mathrm{d}t=\big[u(t)v(t)\big]_a^b-\int_a^b u(t)v'(t)\mathrm{d}t.\]

    \[\int_a^b u'(t)v(t)\mathrm{d}t=\big[u(t)v(t)\big]_a^b-\int_a^b u(t)v'(t)\mathrm{d}t.\]

Démonstration

Il suffit d’intégrer la relation (uv)'=u'v+uv' entre a et b.

Exemple

Soit x\in\mathbb{R}. Calculons \displaystyle I=\int_0^x t e^t\mathrm{d}t par intégration par parties : on pose u'(t)=e^t de sorte que u(t)=e^t et v(t)=t. Les fonctions u et v sont de classe \mathcal{C}^1 sur [0,x] si x est positif (ou [x,0] si x est négatif), par intégration par parties :

    \[I=\big[te^t\big]_0^x- \int_0^x e^t\mathrm{d}t=xe^x-e^x+1=(x-1)e^x+1.\]

    \[I=\big[te^t\big]_0^x- \int_0^x e^t\mathrm{d}t=xe^x-e^x+1=(x-1)e^x+1.\]

Les primitives de x\mapsto xe^x sont donc les fonctions x\mapsto (x-1)e^x+C avec C\in\mathbb{R}.

Proposition : Changement de variable

Soit f une fonction continue sur un intervalle I et \varphi une fonction de classe \mathcal{C}^1 sur [a,b ] à valeurs dans I. Alors :

    \[\int_a^b f(\varphi(x))\varphi'(x)\mathrm{d}x=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(y)\mathrm{d}y.\]

    \[\int_a^b f(\varphi(x))\varphi'(x)\mathrm{d}x=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(y)\mathrm{d}y.\]

Démonstration

En utilisant les formules de dérivations (notamment la dérivée d’une composée), on peut montrer que les fonctions \displaystyle{x\mapsto \int_a^x f(\varphi(t))\varphi'(t)\mathrm{d}t} et \displaystyle{x\mapsto\int_{\varphi(a)}^{\varphi(x)} f(t)\mathrm{d}t} sont des primitives de x\mapsto f(\varphi(x))\varphi'(x) sur [a,b] qui s’annulent en a. On en déduit que ces fonctions sont égales.

Exemple

Calculons \displaystyle I=\int_0^1 \sqrt{1-t^2}\mathrm{d}t par changement de variable : on pose t=\cos(u), alors :
  • \sqrt{1-t^2}=\sqrt{1-\cos(u)^2}=|\sin(u)|
  • Laisse-nous un commentaire !

    Des questions ? Des bons plans à partager ? Nous validons ton commentaire et te répondons en quelques heures ! 🎉

    https://sherpas.com/blog/guide-methodo-prepa/

    Notre ebook pour réussir ta prépa

    Télécharge notre guide et découvre comment réussir tes années en prépa grâce à nos conseils et nos méthodes ! 👩🏻‍🎓