Méthode de calculs de primitives

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 22/06/2022

méthode de calculs de primitives

Vous travaillez actuellement sur des calculs de primitives ? Grâce à ce cours dédié à la méthode de calculs de primitives, ces notions n’auront plus aucun secret pour vous grâce à des méthodologies de pointe !

Méthodes de calculs des primitives

Proposition : Intégration par parties

Soient $u$

et $v$

deux fonctions de classe $\mathcal{C}^1$

sur un segment $[a,b]$

, alors :

$\int_a^b u'(t)v(t)\mathrm{d}t=\big[u(t)v(t)\big]_a^b-\int_a^b u(t)v'(t)\mathrm{d}t.$

Démonstration

Il suffit d’intégrer la relation $(uv)'=u'v+uv'$

entre $a$

et $b$

.

Exemple

Soit $x\in\mathbb{R}$

. Calculons $\displaystyle I=\int_0^x t e^t\mathrm{d}t$

par intégration par parties : on pose $u'(t)=e^t$

de sorte que $u(t)=e^t$

et $v(t)=t$

. Les fonctions $u$

et $v$

sont de classe $\mathcal{C}^1$

sur $[0,x]$

si $x$

est positif (ou $[x,0]$

si $x$

est négatif), par intégration par parties :

$I=\big[te^t\big]_0^x- \int_0^x e^t\mathrm{d}t=xe^x-e^x+1=(x-1)e^x+1.$

Les primitives de $x\mapsto xe^x$

sont donc les fonctions $x\mapsto (x-1)e^x+C$

avec $C\in\mathbb{R}$

.

Proposition : Changement de variable

Soit $f$

une fonction continue sur un intervalle $I$

et $\varphi$

une fonction de classe $\mathcal{C}^1$

sur $[a,b ]$

à valeurs dans $I$

. Alors :

$\int_a^b f(\varphi(x))\varphi'(x)\mathrm{d}x=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(y)\mathrm{d}y.$

Démonstration

En utilisant les formules de dérivations (notamment la dérivée d’une composée), on peut montrer que les fonctions $\displaystyle{x\mapsto \int_a^x f(\varphi(t))\varphi'(t)\mathrm{d}t}$

et $\displaystyle{x\mapsto\int_{\varphi(a)}^{\varphi(x)} f(t)\mathrm{d}t}$

sont des primitives de $x\mapsto f(\varphi(x))\varphi'(x)$

sur $[a,b]$

qui s’annulent en $a$

. On en déduit que ces fonctions sont égales.

Exemple

Calculons $\displaystyle I=\int_0^1 \sqrt{1-t^2}\mathrm{d}t$

par changement de variable : on pose $t=\cos(u)$

, alors :

$\sqrt{1-t^2}=\sqrt{1-\cos(u)^2}=|\sin(u)|$

;

on détermine les nouvelles bornes : lorsque $t=0$

, $u=\dfrac{\pi}{2}$

et lorsque $t=1$

, $u=0$

;

on calcule l’élément différentiel : $\mathrm{d}t=-\sin(u)\mathrm{d}u$

.

Par changement de variable, on a :

$I=\int_{\pi/2}^0 -|\sin(u)|\sin(u)\mathrm{d}u=\int_0^{\pi/2} \sin(u)^2\mathrm{d}u=\int_0^{\pi/2} \dfrac{1+\cos(2u)}{2}\mathrm{d}u=\dfrac{\pi}{4}.$

livre maths mpsi vuibert

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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