Variables aléatoires discrètes : exercice corrigé

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 18/05/2022
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En galère sur un exercice traitant des variables aléatoires discrètes ? Pas de panique ! Grâce à cet article dédié à la notion : Variables aléatoires discrètes : exercice corrigé, cette notion n’aura bientôt plus aucun secret pour vous ! Vous pourrez ainsi préparer sereinement vos interrogations orales et écrites sur cette notion !

Exercice : Variables aléatoires discrètes

⏰ Durée : 30 min

💪 Difficulté : niveau 1/3

Soient X, Y et Z trois variables aléatoires mutuellement indépendantes et définies sur le même espace probabilisé fini \left( \Omega  , \mathbb{P} \right). On suppose que X, Y et Z suivent une loi uniforme sur [[1 , n]].
1.
(a) Donner la loi du couple \left( X, Y \right).
(b) Montrer que pour tout k \in [[2, n + 1]], \mathbb{P} \left( X + Y = k \right) = \dfrac{k - 1}{n^2}.
(c) Montrer que pour tout k \in [[n + 1 , 2n]], \mathbb{P} \left( X + Y = k \right) = \dfrac{2n - k + 1}{n^2}.
2. Justifier que Z et X + Y sont indépendantes, déduire des questions précédentes que :

    \[\mathbb{P} \left( X + Y = Z \right) = \frac{n - 1}{2n^2}.\]

    \[\mathbb{P} \left( X + Y = Z \right) = \frac{n - 1}{2n^2}.\]


3.
(a) Montrer que la variable aléatoire T = n + 1 - Z suit la loi uniforme sur [[1, n]].
(b) Justifier que T est indépendante de X et Y. Déterminer

    \[\mathbb{P} \left( X + Y + Z = n + 1 \right).\]

    \[\mathbb{P} \left( X + Y + Z = n + 1 \right).\]

Corrigé de l’exercice : Variables aléatoires discrètes

1.
(a) Il est clair que X \left( \Omega \right) = Y \left( \Omega \right) =  [[1, n]], ainsi

    \[X \left( \Omega \right) \times Y \left( \Omega \right) =  [[1, n]] \times [[1, n]].\]

    \[X \left( \Omega \right) \times Y \left( \Omega \right) =  [[1, n]] \times [[1, n]].\]

Soit \left( k , \ell \right) \in  [[1, n]] \times [[1, n]]. Par indépendance, on a :

    \begin{eqnarray*} \mathbb{P} \left(  \left( X = k \right) \cap \left( Y= \ell \right) \right) &=& \mathbb{P} \left( X = k \right) \times \mathbb{P} \left( Y = \ell \right) \\ &=& \frac{1}{n} \times \frac1n \\ &=& \frac{1}{n^2}. \end{eqnarray*}

    \begin{eqnarray*} \mathbb{P} \left(  \left( X = k \right) \cap \left( Y= \ell \right) \right) &=& \mathbb{P} \left( X = k \right) \times \mathbb{P} \left( Y = \ell \right) \\ &=& \frac{1}{n} \times \frac1n \\ &=& \frac{1}{n^2}. \end{eqnarray*}


(b) Soit k \in [[2 , n + 1]]. Nous avons le système complet d’événements suivant : \left\{ \left( Y = \ell \right), \, \ell \in [[1, n]]  \right\}, de sorte que, en appliquant la formule des probabilités totales :

    \begin{eqnarray*} \mathbb{P} \left( X + Y = k \right) &=& \sum_{\ell=1}^n \mathbb{P} \big( \left( X + Y = k \right) \cap \left( Y = \ell \right) \big) \\ &=& \sum_{\ell=1}^n \mathbb{P} \big(\left( X = k - \ell \right) \cap \left( Y = \ell \right)\big)  \\ &=& \sum_{\ell=1}^n \mathbb{P} \left( X = k - \ell \right) \times \mathbb{P} \left( Y = \ell \right)  \\  &=& \sum_{\ell=1}^{k - 1} \mathbb{P} \left( X = k - \ell \right) \times \mathbb{P} \left( Y = \ell \right) \quad  (\text{car} \;  \mathbb{P} \left( X = k- \ell \right) = 0 \; \text{si} \;  \ell \ge k ) \end{eqnarray*}

    \begin{eqnarray*} \mathbb{P} \left( X + Y = k \right) &=& \sum_{\ell=1}^n \mathbb{P} \big( \left( X + Y = k \right) \cap \left( Y = \ell \right) \big) \\ &=& \sum_{\ell=1}^n \mathbb{P} \big(\left( X = k - \ell \right) \cap \left( Y = \ell \right)\big)  \\ &=& \sum_{\ell=1}^n \mathbb{P} \left( X = k - \ell \right) \times \mathbb{P} \left( Y = \ell \right)  \\  &=& \sum_{\ell=1}^{k - 1} \mathbb{P} \left( X = k - \ell \right) \times \mathbb{P} \left( Y = \ell \right) \quad  (\text{car} \;  \mathbb{P} \left( X = k- \ell \right) = 0 \; \text{si} \;  \ell \ge k ) \end{eqnarray*}

Comme \ell \in [[1 , k -1]], k - \ell \in [[1 ,  k -1]] , d’où \mathbb{P} \left( X = k - \ell \right) = \dfrac1n puis

    \[\mathbb{P} \left( X + Y = k \right) = \sum_{\ell=1}^{k - 1} \frac{1}{n} \times \frac1n  = \frac{k -  1}{n^2}.\]

    \[\mathbb{P} \left( X + Y = k \right) = \sum_{\ell=1}^{k - 1} \frac{1}{n} \times \frac1n  = \frac{k -  1}{n^2}.\]


(c) Le point de départ est le même que pour la question précédente : on applique la formule des probabilités totales avec le système complet d’événements \left\{ \left( Y = \ell \right), \, \ell \in [[1, n]]  \right\}. Soit k \in [[n + 1 , 2n]], on a :

    \begin{eqnarray*} \mathbb{P} \left( X + Y = k \right) &=& \sum_{\ell=1}^n \mathbb{P} \left( \left( X + Y = k \right) \cap \left( Y = \ell \right) \right) \\ &=& \sum_{\ell=1}^n \mathbb{P} \left( \left( X = k - \ell \right) \cap \left( Y = \ell \right) \right) \\ &=&  \sum_{\ell=1}^n \mathbb{P} \left( X = k - \ell \right) \mathbb{P} \left( Y = \ell \right). \end{eqnarray*}

    \begin{eqnarray*} \mathbb{P} \left( X + Y = k \right) &=& \sum_{\ell=1}^n \mathbb{P} \left( \left( X + Y = k \right) \cap \left( Y = \ell \right) \right) \\ &=& \sum_{\ell=1}^n \mathbb{P} \left( \left( X = k - \ell \right) \cap \left( Y = \ell \right) \right) \\ &=&  \sum_{\ell=1}^n \mathbb{P} \left( X = k - \ell \right) \mathbb{P} \left( Y = \ell \right). \end{eqnarray*}

Or, \mathbb{P} \left( X = k- \ell \right) = 0 \; \text{si} \;  \ell \le k - n - 1 et pour tout \ell \in [[k - n , n]], on a k - \ell \in [[k - n , n]]. Donc, \mathbb{P} \left( X = k - \ell \right) = \dfrac1n car k - n \ge 1. On a donc :

    \begin{eqnarray*} \mathbb{P} \left( X + Y = k \right)&=& \sum_{\ell= k - n}^{n} \mathbb{P} \left( X = k - \ell \right) \mathbb{P} \left( Y = \ell \right) \\ &=& \sum_{\ell= k - n }^{n} \frac{1}{n} \times \frac1n \\ &=& \frac{ 2n - k + 1 }{n^2}. \end{eqnarray*}

    \begin{eqnarray*} \mathbb{P} \left( X + Y = k \right)&=& \sum_{\ell= k - n}^{n} \mathbb{P} \left( X = k - \ell \right) \mathbb{P} \left( Y = \ell \right) \\ &=& \sum_{\ell= k - n }^{n} \frac{1}{n} \times \frac1n \\ &=& \frac{ 2n - k + 1 }{n^2}. \end{eqnarray*}


2. Les variables aléatoires X, Y et Z sont mutuellement indépendantes, donc, par le lemme des coalitions, X+Y et Z sont indépendantes.
On utilise la formule des probabilités totales avec le système complet d’événements \big( ( Z = k )\big)_{k \in [[1, n]]}. On a donc :

    \[\mathbb{P} \left( X + Y = Z \right) = \sum_{k=1}^n \mathbb{P} \left( \left( X + Y = Z \right) \cap \left( Z = k \right) \right) = \sum_{k=1}^n \mathbb{P} \left( \left( X + Y = k \right) \cap \left( Z = k \right) \right).\]

    \[\mathbb{P} \left( X + Y = Z \right) = \sum_{k=1}^n \mathbb{P} \left( \left( X + Y = Z \right) \cap \left( Z = k \right) \right) = \sum_{k=1}^n \mathbb{P} \left( \left( X + Y = k \right) \cap \left( Z = k \right) \right).\]

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