Calcul de primitives exercice corrigé

Sommaire

Exercice 1 : Calcul de primitives
Corrigé de l'exercice 1 : Calcul de primitives

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Exercice 1 : Calcul de primitives

⏰ Durée : 20 min

💪 Difficulté : niveau 2/3

Trouver les primitives des fonctions à valeurs réelles suivantes :

1. $f(x)=\e^{x}\sin(x)$

;

2. $g(x)=\sqrt{\e^x-1}$

;

3. $h(x)=x^2\e^{x}$

;

4. $i(x)=\dfrac{1}{x^2+2x+1}$

;

5. $j(x)=\dfrac{1}{2x^2+2x-12}$

;

6. $k(x)=\dfrac{1}{x^2-2x+5}$

Corrigé de l’exercice 1 : Calcul de primitives

1. Pour tout $x\in\R$

, $f(x)=e^{x}\mathfrak{Im}\left(e^{\i x}\right)=\mathfrak{Im}\left(e^{(1+\i) x}\right)$

. Les primitives de la fonction $x\mapsto e^{(1+\i) x}$

sont les fonctions $x\mapsto \dfrac{e^{(1+\i) x}}{1+\i}+C$

avec $C\in\mathbb{C}$

. Par conséquent, les primitives de $f$

sont les fonctions $F$

telles que :

$\forall x\in\mathbb{R},\;F(x)=\mathfrak{Im}\left(\dfrac{1}{1+\i}e^{(1+\i) x}+C\right)=-\dfrac{\cos(x)}{2}e^x+\dfrac{\sin(x)}{2}e^x+C,\;C\in\mathbb{R}.$

2. Commençons par calculer la primitive de $g$

qui s’annule en $0$

: $\displaystyle G(x)=\int_0^x \sqrt{e^t-1}\mathrm{d}t$

. On va calculer cette intégrale en effectuant le changement de variable $u=\sqrt{e^t-1}\Longleftrightarrow t=\ln(1+u^2)$

.
On a : $\mathrm{d}t=\dfrac{2u}{1+u^2}\mathrm{d}u$

. Finalement :

$\forall x\in\mathbb{R},\;G(x)=\int_{0}^{\sqrt{e^x-1}}u \dfrac{2u}{1+u^2}\mathrm{d}u=2\int_{0}^{\sqrt{e^x-1}}\left(1-\dfrac{1}{1+u^2}\right)\mathrm{d}u=2\sqrt{e^x-1}- $ 2\arctan\left(\sqrt{e^x-1}\right) $.$

Les primitives recherchées sont les fonctions $\displaystyle x\mapsto 2\sqrt{e^x-1}-2\arctan\left(\sqrt{e^x-1}\right)+ C$

avec $C\in\mathbb{R}$

.
3. Pour trouver les primitives de $h$

on effectue deux intégrations par parties consécutives. Les primitives recherchées sont les fonctions $x\mapsto (x^2-2x+2)e^x+ C$

avec $C\in\mathbb{R}$

.
4. On va essayer de factoriser le dénominateur, on remarque qu’il s’agit d’une identité remarquable $x^2+2x+1=(x+1)^2$

. La fonction $i$

est donc sous la forme $u'/u^n$

, les primitives de $i$

sont les fonctions $x\mapsto \dfrac{-1}{x+1}+C,$

$C\in\mathbb{R}$

.
5. On va factoriser le dénominateur. $x\mapsto 2x^2+2x-12$

est une fonction polynomiale du second degré ayant deux racines réelles : $2$

et $-3$

. On va chercher $(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2$

tel que :

$j(x)=\dfrac{\alpha}{x+3}+\dfrac{\beta}{x-2}.$

En réduisant au même dénominateur et en identifiant les coefficients, il vient :

$\alpha=-\dfrac{1}{10},\;\;\beta=\dfrac{1}{10}.$

Finalement, les primitives de $j$

sont les fonctions :

$x\mapsto -\dfrac{1}{10}\ln(|x+3|)+\dfrac{1}{10}\ln(|x-2|)+C=\dfrac{1}{10}\ln\left|\dfrac{x-2}{x+3}\right|+C,\;C\in\mathbb{R}.$

6. Le dénominateur n’admet aucune racine réelle, on va le réécrire sous forme canonique :

$x^2-2x+5=(x-1)^2+4.$

Ainsi :

$k(x)=\dfrac{1}{(x-1)^2+4}=\dfrac{1}{2}\dfrac{1/2}{((x-1)/2)^2+1}.$

On remarque que $k$

est sous la forme $\dfrac{u'}{u^2+1}$

dont une primitive est $\arctan(u)$

. Les primitives de $k$

sont les fonctions :

$x\mapsto \dfrac{1}{2}\arctan\left(\dfrac{x-1}{2}\right)+C,\;C\in\mathbb{R}.$

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720