Qu'est-ce qu'une application linéaire ?

Tu te demandes ce qu’est une application linéaire ? Quelle est sa définition, et comment montrer qu’une application est linéaire ? Après avoir lu ce cours consacré à l’application linéaire, tu auras la réponse à toutes ces questions. À toi le 20 sur 20 à la prochaine interro de maths !

Pour explorer plus en profondeur le rôle fondamental des applications linéaires dans l’espace vectoriel, nos cours particuliers d’algèbre sont une ressource précieuse et accessible.

Dans ce chapitre, $E$

, $F$

et $G$

désignent trois $\mathbb{K}$

-espace vectoriel.

📍Définition : Application linéaire

Soit $f : E \rightarrow F$

une application. On dit que $f$

est linéaire lorsque :
(i) $\forall (u,v) \in E^2$

, $f(u + v) = f(u) + f(v)$

(ii) $\forall \lambda \in \mathbb{K}$

, $\forall u \in E$

, $f(\lambda.u) = \lambda.f(u)$

.
On note $\mathcal{L}(E,F)$

l’ensemble des applications linéaires de $E$

dans $F$

Remarques :

Une application $f$

de $E$

dans $F$

est linéaire si, et seulement si,

$$\forall \lambda \in \mathbb{K}$, $\forall (u,v) \in E^2$, $f(\lambda.u+v) = \lambda.f(u) + f(v)$.$

C’est cette caractérisation qui est utilisée en pratique pour montrer qu’une application est linéaire.

On montre par récurrence sur $p \in \mathbb{N}^*$

que, pour tout $(\lambda_1,...,\lambda_p) \in \mathbb{K}^p$

et pour tout $(u_1,...,u_p) \in E^p$

, on a :

$f(\sum_{k=1}^p \lambda_k.u_k) = \sum_{k=1}^p \lambda_k.f(u_k)$.$

Exemple :

L’application $\begin{array}{rcl} \text{Id}_E : E&\to& E\\ x &\mapsto &x \end{array}$

est linéaire.
Plus généralement, pour tout $\lambda \in \mathbb{K}$

, l’application $\lambda.\text{Id}_E$

est linéaire.

Remarques :

Soit $f$

une application linéaire de $E$

dans $F$

On a : $f(0_E) = 0_F$

. En effet :

$f(0_E) = f(0_E + 0_E) = f(0_E) + f(0_E) .$

En ajoutant $-f(0_E)$

à chaque membre de l’égalité, on a $f(0_E) = 0_F$

En particulier, si $f(0_E) \ne 0_F$

, alors $f$

n’est pas linéaire.

On a : pour tout $x \in E$

, $f(-x) = -f(x)$

. En effet, il suffit de prendre $\lambda = -1$

, $u = x$

et $v = 0_E$

dans la définition d’application linéaire.

💡 Conseils méthodologiques : Montrer qu’une application est linéaire

Pour montrer qu’une application $f : E \to F$

est linéaire, on fixe $\lambda \in \mathbb{K}$

et $(u,v) \in E^2$

et on montre que $f(\lambda.u+v) = \lambda.f(u) + f(v)$

en utilisant la définition de $f$

Exemple :

L’application $\begin{array}{rcl} \text{Id}_E : E&\to& E\\ x &\mapsto &x \end{array}$

est linéaire. $\varphi : \mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R}) \to \mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})$

est une application linéaire. En effet : Soient $(f,g) \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R}) \times \mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R})$

et $\lambda \in \mathbb{R}$

. On a :

$\varphi(\lambda.f+g) = (\lambda.f+g)' = \lambda.f' + g' = \lambda.\varphi(f) + \varphi(g).$

$\varphi$

est une application linéaire.

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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