Dénombrement : exercice corrigé – MPSI

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 30/03/2022
dénombrement

Tu connais ton cours sur le dénombrement ? La prochaine étape pour maîtriser cette notion, c’est de t’entraîner avec nos exercices corrigés ! Après avoir fait cela, le dénombrement n’aura plus aucun secret pour toi !

Exercice d’application sur le dénombrement

⏰ Durée : 15 min

💪 Difficulté : 1/3

Soit E un ensemble à n éléments. Dénombrer le nombre de couples (A,B)\in\mathcal{P}(E)^2 tels que A\cap B=\O.

Corrigé de l’exercice d’application

Soit G={(A,B)\in\mathcal{P}(E)^2, A\cap B=\O}. Pour k\in\mathsbb[\![0;n]\!]}, on pose G_k = {(A,B)\in\mathcal{P}(E)^2, A\cap B=\O et card(A)=k}.
  • Soit (k,k')\in\mathsbb[\![0;n]\!]^2} avec k\ne k'. On suppose qu’il existe (A,B)\in\mathsbb{G_k}\cap G_{k'}. On aurait card(A) = k = k', ce qui est impossible. Ainsi, si k\ne k', {G_k}\cap G_{k'} = \O.
  • Montrons que \bigcup_{k=0}^n G_k = G. L’inclusion \bigcup_{k=0}^n G_k \subset G est évidente.
  • Soit (A,B)\in\mathsbb{G_k}, on commence par choisir une partie A de E à k éléments, ce que l’on peut faire de \binom{n}{k} façons, puis on choisit B\in\mathcal{P}(E\backslash A), ce que l’on peut faire de 2^{n-k} façons car card(E\backslash A)=n-k. Par la formule du binôme, on a :

        \[    $card(G) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} 2^{n-k} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} 2^{n-k}\times 1^k = (1+2)^n = 3^n$. \]

    livre maths mpsi vuibert

    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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