Exercice corrigé : matrice inverse

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 28/04/2022
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Pour être sûr d’avoir bien compris ce qu’est une matrice inverse, il est indispensable de s’entraîner en faisant des exercices. Ici, tu trouveras des exercices de différents niveaux ainsi que leur correction, de quoi devenir un vrai pro des mathématiques ! Deviens incollable sur la notion de matrice inverse !

Exercices d’application : Matrice inverse

Exercice 1 :

⏰ Durée : 10 min

💪 Difficulté : niveau 1/3

Montrer que les matrices suivantes sont inversibles et calculer leur inverse :

1. A=\begin{pmatrix} 0 & -2 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 2\\ \end{pmatrix}

2. B=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 1 & 2 & -1\\ -2 & -2 & -1\\ \end{pmatrix}

3. C=\begin{pmatrix} 1 & \overline{\alpha} & \overline{\alpha}^2\\ {\alpha} & 1 & \overline{\alpha}\\ \alpha^2 & \alpha & 1\\ \end{pmatrix}

Exercice 2 :

⏰ Durée : 20 min

💪 Difficulté : niveau 3/3

Résoudre le système suivant en fonction de la valeur prise par le paramètre \lambda \in \mathbb{R}

Résoudre le système suivant en fonction de la valeur prise par le paramètre \lambda \in \mathbb{R}.

\left \{    \begin{array}{r c l}       (-\frac{1}{2}-\lambda)x - \frac{1}{4}y + z & = & 0 \\       -x + (\frac{1}{2}-\lambda)y - 2z & = & 0 \\       2x + 2y + (3-\lambda)z & = & 0    \end{array} \right

Corrigés des exercices d’application sur les matrices inverses

Exercice 1 :

On applique pour chaque matrice la méthode de Gauss-Jordan.

1.\:A^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix}    1 & 3 & -2 \\    -2 & 0 & 1 \\    -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}

2.\:B^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix}    -4 & 0 & -4 \\    3 & 1 & 2 \\    2 & -2 & 0 \end{pmatrix}

3. La matrice C est inversible si et seulement si |\alpha| \ne 1 et C^{-1} = \frac{1}{1-|\alpha|^2} \begin{pmatrix}    1 & -\bar{\alpha} & 0 \\    -\alpha & 1+|\alpha|^2 & -\bar{\alpha} \\    0 & -\alpha & 1 \end{pmatrix}

Exercice 2 :

Soit \lambda \in \mathbb{R} :

\left \{    \begin{array}{r c l}       (-\frac{1}{2}-\lambda)x - \frac{1}{4}y + z & = & 0 \\       -x + (\frac{1}{2}-\lambda)y - 2z & = & 0 \\       2x + 2y + (3-\lambda)z & = & 0    \end{array} \right

\Longleftrightarrow \left \{    \begin{array}{r c l}       -x + (\frac{1}{2}-\lambda)y - 2z & = & 0\quad L_1 \leftrightarrow L_2 \\       (-\frac{1}{2}-\lambda)x - \frac{1}{4}y + z & = & 0\quad L_1 \leftrightarrow L_2 \\       2x + 2y + (3-\lambda)z & = & 0    \end{array} \right

\Longleftrightarrow \left \{    \begin{array}{r c l}       -x + (\frac{1}{2}-\lambda)y - 2z & = & 0 \\       (\lambda^2 -\frac{1}{2})y + (2+2\lambda)z & = & 0\quad L_2 \leftarrow L_2+(-\lambda-1/2)L_2 \\       (3-2\lambda)y - (\lambda+1)z & = & 0\quad L_3 \leftarrow L_3+2L_2    \end{array} \right

\Longleftrightarrow \left \{    \begin{array}{r c l}       -x + (\frac{1}{2}-\lambda)y - 2z & = & 0 \\       (3-2\lambda)y - (\lambda+1)z & = & 0\quad L_3 \leftrightarrow L_2 \\       (\lambda^2-\frac{1}{2})y + (2+2\lambda)z & = & 0\quad L_3 \leftrightarrow L_2    \end{array} \right

On va choisir 3-2\lambda comme pivot, cependant il est INTERDIT de choisir un pivot qui s’annule et 3-2\lambda = 0 pour \lambda = \frac{3}{2}. On va donc séparer deux cas :
  • On suppose que \lambda = \frac{3}{2}
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