Variables aléatoires discrètes : exercice corrigé

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Exercice : Variables aléatoires discrètes
Corrigé exercice : Variables aléatoires discrètes

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Exercice : Variables aléatoires discrètes

⏰ Durée : 30 min

💪 Difficulté : niveau 1/3

Soient $X, Y$

et $Z$

trois variables aléatoires mutuellement indépendantes et définies sur le même espace probabilisé fini $\left( \Omega , \mathbb{P} \right)$

. On suppose que $X, Y$

et $Z$

suivent une loi uniforme sur $[[1 , n]]$

.
1.
$(a)$

Donner la loi du couple $\left( X, Y \right)$

.
$(b)$

Montrer que pour tout $k \in [[2, n + 1]]$

, $\mathbb{P} \left( X + Y = k \right) = \dfrac{k - 1}{n^2}$

.
$(c)$

Montrer que pour tout $k \in [[n + 1 , 2n]]$

, $\mathbb{P} \left( X + Y = k \right) = \dfrac{2n - k + 1}{n^2}$

.
2. Justifier que $Z$

et $X + Y$

sont indépendantes, déduire des questions précédentes que :

$\mathbb{P} \left( X + Y = Z \right) = \frac{n - 1}{2n^2}.$

3.
$(a)$

Montrer que la variable aléatoire $T = n + 1 - Z$

suit la loi uniforme sur [[1, n]].
$(b)$

Justifier que $T$

est indépendante de $X$

et $Y$

. Déterminer

$\mathbb{P} \left( X + Y + Z = n + 1 \right).$

Corrigé de l’exercice : Variables aléatoires discrètes

1.
$(a)$

Il est clair que $X \left( \Omega \right) = Y \left( \Omega \right) = [[1, n]]$

, ainsi

$X \left( \Omega \right) \times Y \left( \Omega \right) = [[1, n]] \times [[1, n]].$

Soit $\left( k , \ell \right) \in [[1, n]] \times [[1, n]]$

. Par indépendance, on a :

$\begin{eqnarray*} \mathbb{P} \left( \left( X = k \right) \cap \left( Y= \ell \right) \right) &=& \mathbb{P} \left( X = k \right) \times \mathbb{P} \left( Y = \ell \right) \\ &=& \frac{1}{n} \times \frac1n \\ &=& \frac{1}{n^2}. \end{eqnarray*}$

$(b)$

Soit $k \in [[2 , n + 1]].$

Nous avons le système complet d’événements suivant : $\left\{ \left( Y = \ell \right), \, \ell \in [[1, n]] \right\}$

, de sorte que, en appliquant la formule des probabilités totales :

$\begin{eqnarray*} \mathbb{P} \left( X + Y = k \right) &=& \sum_{\ell=1}^n \mathbb{P} \big( \left( X + Y = k \right) \cap \left( Y = \ell \right) \big) \\ &=& \sum_{\ell=1}^n \mathbb{P} \big(\left( X = k - \ell \right) \cap \left( Y = \ell \right)\big) \\ &=& \sum_{\ell=1}^n \mathbb{P} \left( X = k - \ell \right) \times \mathbb{P} \left( Y = \ell \right) \\ &=& \sum_{\ell=1}^{k - 1} \mathbb{P} \left( X = k - \ell \right) \times \mathbb{P} \left( Y = \ell \right) \quad (\text{car} \; \mathbb{P} \left( X = k- \ell \right) = 0 \; \text{si} \; \ell \ge k ) \end{eqnarray*}$

Comme $\ell \in [[1 , k -1]]$

, $k - \ell \in [[1 , k -1]] ,$

d’où $\mathbb{P} \left( X = k - \ell \right) = \dfrac1n$

puis

$\mathbb{P} \left( X + Y = k \right) = \sum_{\ell=1}^{k - 1} \frac{1}{n} \times \frac1n = \frac{k - 1}{n^2}.$

$(c)$

Le point de départ est le même que pour la question précédente : on applique la formule des probabilités totales avec le système complet d’événements $\left\{ \left( Y = \ell \right), \, \ell \in [[1, n]] \right\}$

. Soit $k \in [[n + 1 , 2n]]$

, on a :

$\begin{eqnarray*} \mathbb{P} \left( X + Y = k \right) &=& \sum_{\ell=1}^n \mathbb{P} \left( \left( X + Y = k \right) \cap \left( Y = \ell \right) \right) \\ &=& \sum_{\ell=1}^n \mathbb{P} \left( \left( X = k - \ell \right) \cap \left( Y = \ell \right) \right) \\ &=& \sum_{\ell=1}^n \mathbb{P} \left( X = k - \ell \right) \mathbb{P} \left( Y = \ell \right). \end{eqnarray*}$

Or, $\mathbb{P} \left( X = k- \ell \right) = 0 \; \text{si} \; \ell \le k - n - 1$

et pour tout $\ell \in [[k - n , n]]$

, on a $k - \ell \in [[k - n , n]].$

Donc, $\mathbb{P} \left( X = k - \ell \right) = \dfrac1n$

car $k - n \ge 1$

. On a donc :

$\begin{eqnarray*} \mathbb{P} \left( X + Y = k \right)&=& \sum_{\ell= k - n}^{n} \mathbb{P} \left( X = k - \ell \right) \mathbb{P} \left( Y = \ell \right) \\ &=& \sum_{\ell= k - n }^{n} \frac{1}{n} \times \frac1n \\ &=& \frac{ 2n - k + 1 }{n^2}. \end{eqnarray*}$

2. Les variables aléatoires $X$

, $Y$

et $Z$

sont mutuellement indépendantes, donc, par le lemme des coalitions, $X+Y$

et $Z$

sont indépendantes.
On utilise la formule des probabilités totales avec le système complet d’événements $\big( ( Z = k )\big)_{k \in [[1, n]]}$

. On a donc :

$\mathbb{P} \left( X + Y = Z \right) = \sum_{k=1}^n \mathbb{P} \left( \left( X + Y = Z \right) \cap \left( Z = k \right) \right) = \sum_{k=1}^n \mathbb{P} \left( \left( X + Y = k \right) \cap \left( Z = k \right) \right).$

3. $(a)$

Comme $Z \left( \Omega \right) = [[1, n]]$

, on a bien $T \left( \Omega \right) = [[1, n]]$

. De plus, si $k \in [[1, n]]$

, on a :

$\mathbb{P} \left( T = k \right) = \mathbb{P} \left( Z = n + 1 - k \right) = \frac1n.$

Ainsi $T$

suit bien une loi uniforme sur $[[1, n]]$

.
$(b)$

On écrit $\mathbb{P} \left( X + Y + Z = n + 1 \right) = \mathbb{P} \left( X + Y = n + 1 - Z \right) = \mathbb{P} \left( X + Y = T \right)$

.
De plus, par le lemme des coalitions, $X+Y$

et $T$

sont indépendantes, le calcul de la question 2 reste valable et

$\mathbb{P} \left( X + Y + Z = n + 1 \right) = \frac{n - 1}{2n^2}.$

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720