Tout connaître du groupe symétrique

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 30/04/2022
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Vous travaillez actuellement sur la notion de groupe symétrique ? À vous les bonnes notes ! Grâce à ce cours dédié à la notion de groupe symétrique, vous allez pouvoir bénéficier de méthodologies de pointe pour maîtriser cette notion sur le bout des doigts !

Groupe symétrique

Définition : Groupe symétrique

Si E est un ensemble fini, on note S \left( E \right) l’ensemble des bijections de E sur E. Lorsque E = [\![ 1, n ]\!], on note plus simplement S_n l’ensemble S \left( [\![ 1, n ]\!] \right).

On vérifie facilement la proposition suivante

Proposition

\left( S \left( E \right) , \circ \right) est un groupe appelé groupe des permutations de E.

Notation

Si \sigma \in S \left( E \right) avec E = \left\{ x_1, \dotsc, x_n \right\}, on note

    \[\sigma = \begin{pmatrix}  x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ \sigma \left( x_1 \right) & \sigma \left( x_2 \right) & \cdots & \sigma \left( x_n \right) \end{pmatrix}\]

    \[\sigma = \begin{pmatrix}  x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ \sigma \left( x_1 \right) & \sigma \left( x_2 \right) & \cdots & \sigma \left( x_n \right) \end{pmatrix}\]

pour désigner l’application x \in E \mapsto \sigma \left(  x \right).

Attention !

Cette notation ressemble à une notation matricielle, mais il n’y a aucun lien entre les deux. Attention à ne pas les confondre !

Exemple

Soient \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} et \sigma '  = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\  2 & 4 & 5 & 1 & 3 \end{pmatrix}. On a :

    \[\sigma^2  = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 2 & 5 & 4 &  1 \end{pmatrix}, \quad \sigma \circ \sigma ' =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 2 & 3 & 5 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \sigma^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 &5 & 2 & 1 \end{pmatrix}.\]

    \[\sigma^2  = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 2 & 5 & 4 &  1 \end{pmatrix}, \quad \sigma \circ \sigma ' =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 2 & 3 & 5 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \sigma^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 &5 & 2 & 1 \end{pmatrix}.\]

Proposition

Si E et F sont deux ensembles finis de même cardinal, alors l’ensemble des bijections de E sur F, noté S \left( E, F \right), est fini et son cardinal est \mathrm{card} \left( E \right) !.

Démonstration

On procède par récurrence sur \mathrm{card} \left( E \right) (=\mathrm{card} \left( F \right)). Si E est de cardinal 1, alors S \left( E , F \right) ne contient qu’un seul élément donc est de cardinal 1.
Supposons le résultat vrai pour tout couple d’ensembles \left(E , F \right) à n éléments.
Soient E et F deux ensembles ayant n+1 éléments. On écrit E = \left\{ x_1, \dotsc, x_{n+1} \right\} et F = \left\{ y_1, \dotsc, y_{n+1} \right\}.
Pour tout i \in [\![ 1, n +1 ]\!], on pose S \left( E , F \right)_i = \left\{ f \in S \left( E, F \right) , \; f \left( x_{n+1} \right) = y_i \right\}. Il est clair que les ensembles S \left( E, F \right)_i sont deux à deux disjoints et \displaystyle{S \left( E, F \right) = \bigcup_{i=1}^{n+1} S \left( E , F \right)_i}. Il s’ensuit que

    \[\mathrm{card} \left( S \left( E, F \right) \right) = \sum_{i=1}^{n+1} \mathrm{card} \left( S \left( E , F \right)_i \right).\]

    \[\mathrm{card} \left( S \left( E, F \right) \right) = \sum_{i=1}^{n+1} \mathrm{card} \left( S \left( E , F \right)_i \right).\]

Or, f \in S \left( E, F \right)_i si, et seulement si, f \in S \left( E \backslash \left\{ x_{n+1} \right\} , F \backslash \left\{ y_i \right\} \right). Or, par hypothèse de récurrence, on a \mathrm{card} \left( S \left( E \backslash \left\{ x_{n+1} \right\} , F \backslash \left\{ y_i \right\} \right) \right)= n!. Il s’ensuit que

    \[\mathrm{card} \left( S \left( E, F \right) \right) = \sum_{i=1}^{n+1} n! = \left( n + 1 \right) \times n! = \left( n + 1 \right)!.\]

    \[\mathrm{card} \left( S \left( E, F \right) \right) = \sum_{i=1}^{n+1} n! = \left( n + 1 \right) \times n! = \left( n + 1 \right)!.\]

livre maths mpsi vuibert

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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