Tout connaître de la probabilité sur un univers fini

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 18/05/2022
probabilité sur un univers fini

Vous êtes en prépa MPSI/MP21 et travaillez actuellement sur la notion de probabilité sur un univers fini ? Vous êtes au bon endroit ! Grâce à ce cours dédié à la notion de probabilité sur un univers fini, vous pouvez désormais partir serein(e) pour votre prochaine interrogation écrite ou orale !

Probabilités sur un univers fini

Définition : Ensemble des parties de Ω

On définit l’ensemble des parties de \Omega, noté \mathcal P \left( \Omega \right), l’ensemble

    \[\mathcal P \left( \Omega \right) = \left\{ A, \; A \subset \Omega \right\}.\]

Définition : Probabilité sur un univers fini

On appelle probabilité sur \Omega toute application \mathbb{P} : \mathcal P \left( \Omega \right) \rightarrow \left[ 0 , 1 \right] vérifiant :
  • \mathbb{P} \left( \Omega \right)= 1 ;
  • pour tous événements A et B incompatibles, on a

        \[\mathbb{P} \left( A \cup B \right) = \mathbb{P} \left( A \right) + \mathbb{P} \left( B \right).\]

  • Remarque

    Par récurrence, on montre que, pour tous événements A_1, \dotsc, A_n deux à deux incompatibles, on a

        \[\mathbb{P} \left( A_1 \cup \cdots \cup A_n \right) = \sum_{k=1}^n \mathbb{P} \left( A_k \right).\]

    Définition : Espace probabilisé

    Un espace probabilisé (fini) est un couple \left( \Omega, \mathbb{P} \right)\Omega est un univers fini et \mathbb{P} est une probabilité sur \Omega.

    Proposition : Propriétés fondamentales

    Soit \left( \Omega, \mathbb{P} \right) un espace probabilisé. Alors :
  • pour tout A \in \mathcal P \left( \Omega \right), \mathbb{P} \left( \overline{A} \right)=1 - \mathbb{P} \left( A \right), en particulier, \mathbb{P} \left( \varnothing \right) = 0 ;
  • pour tout \left( A, B \right) \in \mathcal P \left( \Omega \right)^2, si A \subset B, alors \mathbb{P} \left( B \backslash A \right) = \mathbb{P} \left( B \right) - \mathbb{P} \left( A \right). En particulier \mathbb{P} \left(  A \right) \le \mathbb{P} \left( B \right) (croissance de la probabilité) ;
  • pour tout \left( A, B \right) \in \mathcal P \left( \Omega \right)^2, \mathbb{P} \left( A \cup B \right) =\mathbb{P} \left( A \right)+ \mathbb{P} \left( B \right) - \mathbb{P} \left( A \cap B \right).
  • Démonstration

  • Comme les événements A et \overline{A} vérifient A \cap \overline{A} = \varnothing et A \cup \overline{A} = \Omega, d’après la définition , on a

        \[1 = \mathbb{P} \left( \Omega \right) =\mathbb{P} \left( A \right) + \mathbb{P} \left( \overline{A} \right),\]

    soit \mathbb{P} \left( \overline{A} \right) = 1 - \mathbb{P} \left( A \right).
    Si l’on remarque que \varnothing = \overline{\Omega}, alors on a \mathbb{P} \left( \varnothing \right) = 1 - 1=0.
  • Il est clair que les événements A et B \backslash A sont incompatibles et vérifient B = A \cup \left( B \backslash A \right). Ainsi, d’après le second point de la définition, on a \mathbb{P} \left( B \right)= \mathbb{P} \left( A \right)+ \mathbb{P} \left( B \backslash A \right).
    Comme \mathbb{P} \left( B \backslash A \right) \ge 0, on a en particulier, \mathbb{P} \left( A \right) \le \mathbb{P} \left( B \right).
  • Il suffit de remarquer que A \cup B = \left( A \backslash \left( A \cap B \right) \right) \cup \left( A \cap B \right) \cup  \left( B \backslash \left( A \cap B \right) \right). Les événements étant deux à deux incompatibles, on a

        \[\mathbb{P} \left( A \cup B \right)= \mathbb{P}  \left( A \backslash \left( A \cap B \right)  \right)+ \mathbb{P} \left( A \cap B \right) + \mathbb{P}   \left( B \backslash \left( A \cap B \right) \right) .\]

    Comme A \cap B \subset A et A \cap B \subset B, en utilisant (ii), on a \mathbb{P}  \left( A \backslash \left( A \cap B \right)  \right) = \mathbb{P} \left( A \right) - \mathbb{P} \left( A \cap B \right) et \mathbb{P}  \left( B \backslash \left( A \cap B \right)  \right) = \mathbb{P} \left( B \right) - \mathbb{P} \left( A \cap B \right), ce qui donne finalement

        \[\mathbb{P} \left( A \cup B \right) =\mathbb{P} \left( A \right)+ \mathbb{P} \left( B \right) - \mathbb{P} \left( A \cap B \right).\]

  • Proposition

    Si \Omega = \left\{ \omega_1, \dotsc, \omega_n \right\} et si p_1, \dotsc ,p_n sont des nombres positifs tels que p_1 + \cdots + p_n =1, alors il existe une unique probabilité \mathbb{P} sur \Omega telle que

        \[\forall i \in [[1, n]], \quad \mathbb{P} \left( \left\{ \omega_i \right\} \right) = p_i.\]

    La suite \left( p_1, \dotsc, p_n \right) s’appelle une distribution de probablité sur \Omega.

    Démonstration

    L’unicité est claire.
    Réciproquement, si \mathbb{P} est une application définie sur \mathcal P \left( \Omega \right) telle que pour tout i \in  [[1, n]], \mathbb{P} \left( \left\{ \omega_i \right\} \right) = p_i, il est aisé de vérifier que \mathbb{P} vérifie les deux points de la définition.

    Remarque

    Autrement dit, pour définir une probabilité \mathbb{P} sur un univers fini \Omega, il suffit de définir \mathbb{P} sur chaque singleton de \Omega (aussi appelé événement élémentaire) de sorte que la somme donne 1. La formule générale est alors donnée par :

        \[\forall A \in \mathcal P \left( \Omega \right), \quad \mathbb{P} \left( A \right) = \sum_{\omega \in A} \mathbb{P} \left( \left\{ \omega \right\} \right).\]

    Exemple

    Si \Omega = [[1 , n]], il existe une unique probabilité \mathbb{P} sur \Omega telle que

        \[\forall k \in \Omega , \quad \mathbb{P} \left( \left\{ k \right\} \right) = \frac1n.\]

    Ainsi, pour tout A \subset \Omega, on a

        \[\mathbb{P} \left( A \right) = \frac{\mathrm{card} \left( A \right)}{n}.\]

    Cette probabilité s’appelle la probabilité uniforme sur \Omega.
    livre maths mpsi vuibert

    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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