Méthode : résoudre une équation diophantienne

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 04/07/2022
équation diophantienne

Dans cet article, nous te présentons la méthode pour résoudre une équation diophantienne rapidement et simplement. Autrement dit, voilà la clé pour briller lors de ta prochaine interro de mathématiques !

Conseils méthodologiques pour résoudre une équation diophantienne

On souhaite résoudre l’équation (E)ax+by = c d’inconnues x\in\mathbb{Z} et y\in\mathbb{Z}, où a, b et c des entiers relatifs donnés.
  • On commence par calculer a \wedge b. Si c n’est pas divisible par a \wedge b, alors l’équation n’admet pas de solution.
  • On pose a' = \frac{a}{a \wedge {b'}} , b' = \frac{b}{a \wedge {b}} et c' = \frac{c}{a \wedge {b}}. On divise tous les membres de l’équation (E) par a \wedge b. On est alors amenés à résoudre
  •     \[    $(E')a'x+b'y = c'$. \]

  • On trouve une solution particulière de l’équation (E') en déterminant la relation de Bézout entre a' et b'. On obtient (u,v)\in\mathbb{Z}^2 tel que a'u + b'v = 1. On multiplie cette relation par c' pour obtenir la solution particulière (c'u, c'v) de (E') :

        \[    $(E'')c'u + c'v = c'$. \]


  • On remarque alors, en soustrayant terme à terme les relations (E') et (E''), que le couple (x-c'u, y-c'v) vérifie :

        \[    $a'(x-c'u)+b'(y-c'v) = 0 $ soit $ a'(x-c'u) = -b'(y-c'v)$. \]


    En utilisant le théorème de Gauss, comme a' \wedge {b'} = 1, on en déduit que b' divise x-c'u, soit :

        \[    $\exists k \in\mathbb{Z}$, $x = c'u + b'k$. \]


    On trouve y en fonction de k en substituant dans la relation précédente.
  • Application de la méthode

    Résoudre dans \mathbb{Z}^2 l’équation 60y - 32y = 12.
  • En appliquant l’algorithme d’Euclide, on peut montrer que 60 \wedge 32 = 4. 12 est divisible par 4 donc, donc l’équation admet des solutions.
  • On divise l’équation par 4. On va donc résoudre 15x-8y = 315 \wedge 8 = 1.
  • On cherche une solution particulière de 15x - 8y = 3. Comme 15 \wedge 8 =1, il existe (u,v)\in\mathbb{Z}^2 tel que 15u + 8v = 1. On va déterminer les coefficients de Bézout u et v :

        \[     $15 = 8 \times 1 + 7 $ ainsi $ 7 = 15-8$ \]

        \[    $8 = 7 \times 1 + 1 $ ainsi $ 1 = 8-7 = 2 \times 8 - 15$ \]


    Finalement, on a :

        \[     $15 \times (-1) + 2 \times 8 = 1 \Longleftrightarrow 15 \times (-3) - (-6) \times 8 = 3$ (en multipliant la relation par 3). \]


    Une solution particulière de l’équation modifiée est (-3,-6).
  • On a :

        \[    $15x - 8y = 3 \Longleftrightarrow 15(x+3) + 8(y+6) = 0 \Longleftrightarrow 15(x+3)= -8(y+6)$. \]


    Donc 15 divise le produit -8(y+6), mais 15 \wedge 8 = 1, d’après le théorème de Gauss, 15 divise y+6. On en déduit qu’il existe k \in\mathbb{Z} tel que y+6 = 15k \Longleftrightarrow y=15k-6. De plus :

        \[    $15 (x+3) = -8(y+6) \Longleftrightarrow x+3 = -8k  \Longleftrightarrow x = -8k-3$. \]


  • Finalement, les solutions de l’équation sont les couples (-8k-3, 15k-6) avec k \in\mathbb{Z}.
    livre maths mpsi vuibert

    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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