Théorème de Rolle et accroissements finis

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 17/06/2022
théorème de rolle et accroissements finis

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Théorème de Rolle

Théorème : Théorème de Rolle

Soient a<b des réels et f:[a,b]\to\mathbb{R} une fonction. Si
  • f est continue sur [a,b];
  • f est dérivable sur ]a,b[;
  • f(a)=f(b);
  • alors, il existe c\in ]a,b[ tel que f'(c)=0.

    Démonstration

    La fonction f est continue sur le segment [a,b], donc, par le théorème des bornes atteintes, il existe (\alpha,\beta)\in[a,b]^2 tel que :

        \[\forall x\in[\alpha,\beta],\, f(\alpha)\leq f(x)\leq f(\beta).\]

    Il y a trois cas.
  • Cas~1 : \alpha\notin\{a,b\}. La fonction f est dérivable en \alpha, possède un minimum (local) en \alpha et \alpha n’est pas une extrémité de [a,b]. Donc, par le théorème précédent, f'(\alpha)=0.
  • Cas~2 : \alpha\in\{a,b\} et \beta\notin\{a,b\}. La fonction f est dérivable en \beta, possède un maximum (local) en \beta et \beta n’est pas une extrémité de [a,b]. Donc, par le théorème précédent, f'(\beta)=0.
  • Cas~3 : \alpha\in\{a,b\} et \beta\in\{a,b\}. Dans ce cas, comme f(a)=f(b), on a f(\alpha)=f(\beta). Donc, f est constante. Donc, tout point c\in ]a,b[ vérifie f'(c)=0.
  • Dans tous les cas, il existe c\in ]a,b[ tel que f'(c)=0.

    Remarques

  • Dans le théorème de Rolle, le point c n’est pas nécessairement unique.
  • Si une fonction vérifie le théorème de Rolle, alors son graphe possède une tangente horizontale.
  • On considère un point mobile se déplaçant sur une droite. Sa position à l’instant x est notée f(x).
    On suppose qu’aux instants a et b le mobile se trouve à la même position. Si f est continue sur [a,b] et est dérivable sur ]a,b[, alors il existe un instant c où la vitesse instantanée du mobile est nulle : f'(c)=0.
  • Égalité et inégalité des accroissements finis

    Théorème : Égalité des accroissements finis

    Soient a<b des réels et f:[a,b]\to\mathbb{R} une fonction. Si
  • f est continue sur [a,b];
  • f est dérivable sur ]a,b[;
  • alors, il existe c\in ]a,b[ tel que f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}.

    Démonstration

    On considère la fonction g:\begin{array}[t]{cll} [a,b] & \to & \mathbb{R}\\ x & \mapsto & f(x)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} (x-a) \end{array}
    La fonction g est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et g(a)=f(a)=g(b).
    Donc, par théorème de Rolle, il existe c\in]a,b[ tel que g'(c)=0. D’où f'(c)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=0.

    Remarques

  • Dans l’égalité des accroissements finis, le point c n’est pas nécessairement unique.
  • Si une fonction vérifie l’égalité des accroissements finis, alors son graphe possède une tangente de même pente que la sécante passant par les points \big(a,f(a)\big) et \big(b,f(b)\big).
  • On considère un point mobile se déplaçant sur une droite. Sa position à l’instant x est notée f(x).
    Si f est continue sur [a,b] et est dérivable sur ]a,b[, alors il existe un instant c où la vitesse instantanée du mobile est égale à sa vitesse moyenne entre les instants x et a, soit : f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}.
  • Théorème : Inégalité des accroissements finis

    Soit f:I\to\mathbb{R} une fonction telle que :
  • f est dérivable sur I;
  • il existe C\in\mathbb{R} tel que |f'| est majorée par C,
    alors, pour tout (x,y)\in I^2,

        \[|f(x)-f(y)|\leq C |x-y|.\]

  • Démonstration

    Soit (x,y)\in I^2. Si x=y, l’inégalité est claire. Dans la suite, on suppose x\neq y. Sans perdre de généralité, on peut supposer que x<y.
    D’après l’égalité des accroissements finis, il existe c\in ]x,y[ tel que, \dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}=f'(c).
    Or, |f'| est majorée par C.
    Donc, \left|\dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|\leq C.

    Définition : Fonction lipschitzienne

    Soient f:I\to\mathbb{R} une fonction et k\in\mathbb{R}_+.
  • On dit que f est k-lipschitzienne lorsque : pour tout (x,y)\in I^2,

        \[|f(x)-f(y)|\leq k |x-y|.\]

  • On dit que f est lipschitzienne lorsqu’il existe k\in\mathbb{R}_+ tel que f est k-lipschitzienne.
  • Exemples

    D’après l’inégalité triangulaire, la fonction valeurs absolue est 1-lipschitzienne.

    Remarques

  • Une fonction lipschitzienne est continue.
    Soit a\in I. On a, pour tout x\in I, |f(x)-f(a)|\leq k |x-a|. Par théorème d’encadrement, f(x)\xrightarrow[x\to a]{}f(a).
  • On peut reformuler l’inégalité des accroissements finis : si f:I\to\mathbb{R} est dérivable et si f' est bornée sur I, alors f est lipschitzienne.
  • Exemples

    La fonction \sin est dérivable sur \mathbb{R} et |\sin'|=|\cos|\leq 1.
    Donc, par l’inégalité des accroissements finis, \sin est 1-lipschitzienne : pour tout (x,y)\in I^2,

        \[|\sin(x)-\sin(y)|\leq |x-y|.\]

    En particulier, pour tout x\in\mathbb{R}, |\sin(x)|\leq |x|.
    livre maths mpsi vuibert

    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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