Tout connaître sur le groupe symétrique

Vous travaillez actuellement sur la notion de groupe symétrique ? À vous les bonnes notes ! Grâce à ce cours dédié à la notion de groupe symétrique, vous allez pouvoir bénéficier de méthodologies de pointe pour maîtriser cette notion sur le bout des doigts !

Et pour approfondir encore plus, déchiffre les mystères des permutations et des bijections avec l’aide d’un prof particulier d’algèbre en ligne ; ainsi, les bonnes notes ne seront plus qu’une formalité. 📝

Groupe symétrique

Définition : Groupe symétrique

Si $E$

est un ensemble fini, on note $S \left( E \right)$

l’ensemble des bijections de $E$

sur $E$

. Lorsque $E = [\![ 1, n ]\!]$

, on note plus simplement $S_n$

l’ensemble $S \left( [\![ 1, n ]\!] \right)$

On vérifie facilement la proposition suivante

Proposition

$\left( S \left( E \right) , \circ \right)$

est un groupe appelé groupe des permutations de $E$

Notation

Si $\sigma \in S \left( E \right)$

avec $E = \left\{ x_1, \dotsc, x_n \right\}$

, on note

$\sigma = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ \sigma \left( x_1 \right) & \sigma \left( x_2 \right) & \cdots & \sigma \left( x_n \right) \end{pmatrix}$

pour désigner l’application $x \in E \mapsto \sigma \left( x \right)$

Attention !

Cette notation ressemble à une notation matricielle, mais il n’y a aucun lien entre les deux. Attention à ne pas les confondre !

Exemple

Soient $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

et $\sigma ' = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 4 & 5 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

. On a :

$\sigma^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 2 & 5 & 4 & 1 \end{pmatrix}, \quad \sigma \circ \sigma ' =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 2 & 3 & 5 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \sigma^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 &5 & 2 & 1 \end{pmatrix}.$

Proposition

Si $E$

et $F$

sont deux ensembles finis de même cardinal, alors l’ensemble des bijections de $E$

sur $F$

, noté $S \left( E, F \right)$

, est fini et son cardinal est $\mathrm{card} \left( E \right) !$

Démonstration

On procède par récurrence sur $\mathrm{card} \left( E \right) (=\mathrm{card} \left( F \right))$

. Si $E$

est de cardinal $1$

, alors $S \left( E , F \right)$

ne contient qu’un seul élément donc est de cardinal $1$

.
Supposons le résultat vrai pour tout couple d’ensembles $\left(E , F \right)$

à $n$

éléments.
Soient $E$

et $F$

deux ensembles ayant $n+1$

éléments. On écrit $E = \left\{ x_1, \dotsc, x_{n+1} \right\}$

et $F = \left\{ y_1, \dotsc, y_{n+1} \right\}$

.
Pour tout $i \in [\![ 1, n +1 ]\!]$

, on pose $S \left( E , F \right)_i = \left\{ f \in S \left( E, F \right) , \; f \left( x_{n+1} \right) = y_i \right\}$

. Il est clair que les ensembles $S \left( E, F \right)_i$

sont deux à deux disjoints et $\displaystyle{S \left( E, F \right) = \bigcup_{i=1}^{n+1} S \left( E , F \right)_i}$

. Il s’ensuit que

$\mathrm{card} \left( S \left( E, F \right) \right) = \sum_{i=1}^{n+1} \mathrm{card} \left( S \left( E , F \right)_i \right).$

Or, $f \in S \left( E, F \right)_i$

si, et seulement si, $f \in S \left( E \backslash \left\{ x_{n+1} \right\} , F \backslash \left\{ y_i \right\} \right)$

. Or, par hypothèse de récurrence, on a $\mathrm{card} \left( S \left( E \backslash \left\{ x_{n+1} \right\} , F \backslash \left\{ y_i \right\} \right) \right)= n!$

. Il s’ensuit que

$\mathrm{card} \left( S \left( E, F \right) \right) = \sum_{i=1}^{n+1} n! = \left( n + 1 \right) \times n! = \left( n + 1 \right)!.$

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720