Topologie de R² {Fiche de cours}

Vous étudiez actuellement la topologie de R² ? Pas de panique ! Grâce à cette fiche de cours dédiée à la notion de topologie de R², vous pourrez maîtriser cette notion sur le bout des doigts !

Et si la topologie de R² vous semble toujours aussi abstraite que les dessins d’Escher, nos cours particuliers de maths peuvent éclairer votre compréhension et rendre cette abstraction en une réalité mathématique tangible. 🌀

Topologie de R²

Définition : Norme euclidienne sur R²

La norme euclidienne de $\mathbb{R}^2$

est l’application $\left\| \cdot \right\|$

définie par :

$\forall X = \left( x, y \right) \in \mathbb{R}^2, \quad \left\| X \right\| = \sqrt{x^2 + y^2}$

Ainsi la norme euclidienne mesure la distance de $X$

au point $O$

de coordonnées $\left( 0 , 0 \right)$

Proposition : Propriétés de la norme euclidienne

La norme euclidienne a les propriétés suivantes.

Positivité : pour tout $X \in \mathbb{R}^2$

, on a $\left\| X \right\| \ge 0$

;

Séparation : pour tout $X \in \mathbb{R}^2$

, $\left\| X \right\|=0$

implique $X=0$

;

Homogène : pour tout $\left( \lambda , X \right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^2$

;

Inégalité triangulaire : pour tout $\left( X, Y \right) \in \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2$

Démonstration

C’est clair.

Si $\left\| X \right\| = 0$

, en notant $X = \left( x, y \right)$

, alors $x^2 + y^2 = 0$

, d’où $x = y = 0$

car une somme de réels positifs est nulle si, et seulement si, tous les réels sont nuls.

C’est clair car $\sqrt{\lambda^2} = \left| \lambda \right|$

On pose $X = \left( x_1, y_1 \right)$

et $Y = \left( x_2, y_2 \right)$

. On raisonne par équivalence :

$\begin{eqnarray*} &{}& \sqrt{\left(x_1^2 + y_1^2 \right)^2 + \left( x_2^2 + y_2^2 \right)^2} \le \sqrt{x_1^2 + y_1^2} + \sqrt{x_2^2 + y_2^2} \\ &\iff& \left(x_1 + y_1 \right)^2 + \left( x_2 + y_2 \right)^2 \le x_1^2 + y_1^2 + x_2^2 + y_2^2 + 2 \sqrt{\left( x_1^2 + y_1^2 \right) \left( x_2^2 + y_2^2 \right)} \\ &\iff& x_1y_1 + x_2 y_2 \le \sqrt{\left( x_1^2 + y_1^2 \right) \left( x_2^2 + y_2^2 \right)}. \end{eqnarray*}$

Cette dernière inégalité est vraie : c’est l’inégalité de Cauchy-Schwarz dans $\mathbb{R}^2$

muni de son produit scalaire usuel.

Définition : Boule ouverte

Soient $a \in \mathbb{R}^2$

et $r > 0$

. On appelle la boule ouverte de centre $a$

et de rayon $r$

, notée $B \left( a, r \right)$

, le sous-ensemble de $\mathbb{R}^2$

défini par :

$B \left( a , r \right) = \left\{ x \in \mathbb{R}^2, \; \left\| x - a \right\| < r \right\}.$

Définition : Ouvert de R²

Soit $O \subset \mathbb{R}^2$

. On dit que $O$

est un ouvert de $\mathbb{R}^2$

(ou une partie ouverte de $\mathbb{R}^2$

) si $O$

est vide ou si :

$\forall a \in O , \exists \varepsilon > 0, \quad B \left( a, \varepsilon \right) \subset O.$

Exemples

Les boules ouvertes sont des ouverts de $\mathbb{R}^2$

Le demi-plan $\left\{ \left( x, y \right) \in \mathbb{R}^2, \; x > 0 \right\}$

est un ouvert de $\Rmathbb{R}2$

Une union quelconque d’ouverts de $\mathbb{R}^2$

est un ouvert de $\mathbb{R}^2$

, alors qu’une intersection finie d’ouverts de $\mathbb{R}^2$

est un ouvert de $\mathbb{R}^2$

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720